자연계열 3번

(답) (1) $\displaystyle (1,\ 2)$　(2) $\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(풀이)(1) 점 P의 좌표를 $\displaystyle (b,b^{2}+1)$이라고 하자. 점 P에서의 접선 $\displaystyle l_{1}$의 기울기는 $\displaystyle 2b$이다.점 Q의 좌표를 $\displaystyle \left(c,-(c-8)^{2}\right)$이라고 하자. 점 Q에서의 접선 $\displaystyle l_{2}$의 기울기는 $\displaystyle -2(c-8)$이다.직선 $\displaystyle l_{1}$과 $\displaystyle l_{2}$가 평행하므로 $\displaystyle 2b=-2(c-8)$이고 정리하면 $\displaystyle c=8-b$이다.

직선 PQ의 기울기는 $\displaystyle \frac{-(c-8)^{2}-(b^{2}+1)}{c-b}=\frac{-2b^{2}-1}{8-2b}$이다.직선 PQ가 직선 $\displaystyle l_{1}$과 수직이므로 $\displaystyle 2b\times\left(\frac{-2b^{2}-1}{8-2b}\right)=-1$이다. 따라서 $\displaystyle b^{3}+b-2=0$이다.$\displaystyle (b-1)(b^{2}+b+2)=0$이고, $\displaystyle b=1$이다. 따라서 점 P의 좌표는 $\displaystyle (1,2)$이다.

(2) 점 P의 좌표를 $\displaystyle (b,b^{2}+1)$, 점 Q의 좌표를 $\displaystyle \left(c,-(c-a)^{2}\right)$라고 하자.접선 $\displaystyle l_{1}$의 기울기는 $\displaystyle 2b$이고, 접선 $\displaystyle l_{2}$의 기울기는 $\displaystyle -2(c-a)$이다.직선 $\displaystyle l_{1}$과 $\displaystyle l_{2}$가 평행하므로 $\displaystyle 2b=-2(c-a)$이고 정리하면 $\displaystyle c=a-b$이다. 따라서 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(a-b,-b^{2}\right)$이다.직선 PQ의 기울기는 $\displaystyle \frac{-b^{2}-(b^{2}+1)}{(a-b)-b}=\frac{-2b^{2}-1}{a-2b}$이다.직선 PQ가 직선 $\displaystyle l_{1}$과 수직이므로 $\displaystyle 2b\times\left(\frac{-2b^{2}-1}{a-2b}\right)=-1$이다. 따라서$\displaystyle a=4b^{3}+4b\qquad\cdots\cdots\ (*)$

또한 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(4b^{3}+3b,-b^{2}\right)$이다. 점 P의 좌표가 $\displaystyle (b,b^{2}+1)$이므로$\displaystyle L=\sqrt{\left(4b^{3}+2b\right)^{2}+\left(2b^{2}+1\right)^{2}}=\sqrt{4b^{2}\left(2b^{2}+1\right)^{2}+\left(2b^{2}+1\right)^{2}}=\left(2b^{2}+1\right)\sqrt{4b^{2}+1}$$\displaystyle \frac{dL}{db}=4b\sqrt{4b^{2}+1}+\left(2b^{2}+1\right)\times\frac{8b}{2\sqrt{4b^{2}+1}}=\frac{8b\left(3b^{2}+1\right)}{\sqrt{4b^{2}+1}}$

$\displaystyle a=8$일 때 $\displaystyle (*)$에 의해 $\displaystyle b=1$이고, $\displaystyle \frac{dL}{db}=\frac{32}{\sqrt{5}}$ .$\displaystyle (*)$에서 $\displaystyle \frac{da}{db}=12b^{2}+4$이고, 역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle \frac{db}{da}=\frac{1}{12b^{2}+4}$ 이다. $\displaystyle b=1$일 때, $\displaystyle \frac{db}{da}=\frac{1}{16}$ 이다.따라서 $\displaystyle a=8$일 때 $\displaystyle \frac{dL}{da}=\frac{dL}{db}\times\frac{db}{da}=\frac{32}{\sqrt{5}}\times\frac{1}{16}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$