건국대 2026학년도 수시 자연계열 3번 해설

제시문 3

(가) 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 가 미분가능할 때, 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}\quad$ 또는 $\displaystyle \quad y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\,g^{\prime}(x)$

(나) 그림에서 직선 $\displaystyle l_{1}$ 은 곡선 $\displaystyle y=x^{2}+1$ 위의 점 P에서의 접선이고, 직선 $\displaystyle l_{2}$ 는 곡선 $\displaystyle y=-(x-a)^{2}$ 위의 점 Q에서의 접선이다. 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 는 직선 $\displaystyle l_{1}$ , $\displaystyle l_{2}$ 와 각각 수직이다.

위로 열린 포물선 y = x² + 1 위의 점 P와 아래로 열린 포물선 y = −(x−a)² 위의 점 Q. 각 점에서의 접선 l₁, l₂가 그려져 있고 직선 PQ가 두 접선과 수직으로 만난다.

[문제 3] (29점)

(1) (나)에서 $\displaystyle a=8$ 일 때, 점 P의 좌표를 구하고 풀이과정을 쓰시오.

(2) (나)에서 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 의 길이를 $\displaystyle L$ 이라 하자. $\displaystyle a=8$ 일 때, $\displaystyle \frac{dL}{da}$ 의 값을 구하고 풀이과정을 쓰시오.

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(답) (1) $\displaystyle (1,\ 2)$ 　(2) $\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(풀이)(1) 점 P의 좌표를 $\displaystyle (b,b^{2}+1)$ 이라고 하자. 점 P에서의 접선 $\displaystyle l_{1}$ 의 기울기는 $\displaystyle 2b$ 이다.점 Q의 좌표를 $\displaystyle \left(c,-(c-8)^{2}\right)$ 이라고 하자. 점 Q에서의 접선 $\displaystyle l_{2}$ 의 기울기는 $\displaystyle -2(c-8)$ 이다.직선 $\displaystyle l_{1}$ 과 $\displaystyle l_{2}$ 가 평행하므로 $\displaystyle 2b=-2(c-8)$ 이고 정리하면 $\displaystyle c=8-b$ 이다.

직선 PQ의 기울기는 $\displaystyle \frac{-(c-8)^{2}-(b^{2}+1)}{c-b}=\frac{-2b^{2}-1}{8-2b}$ 이다.직선 PQ가 직선 $\displaystyle l_{1}$ 과 수직이므로 $\displaystyle 2b\times\left(\frac{-2b^{2}-1}{8-2b}\right)=-1$ 이다. 따라서 $\displaystyle b^{3}+b-2=0$ 이다. $\displaystyle (b-1)(b^{2}+b+2)=0$ 이고, $\displaystyle b=1$ 이다. 따라서 점 P의 좌표는 $\displaystyle (1,2)$ 이다.

(2) 점 P의 좌표를 $\displaystyle (b,b^{2}+1)$ , 점 Q의 좌표를 $\displaystyle \left(c,-(c-a)^{2}\right)$ 라고 하자.접선 $\displaystyle l_{1}$ 의 기울기는 $\displaystyle 2b$ 이고, 접선 $\displaystyle l_{2}$ 의 기울기는 $\displaystyle -2(c-a)$ 이다.직선 $\displaystyle l_{1}$ 과 $\displaystyle l_{2}$ 가 평행하므로 $\displaystyle 2b=-2(c-a)$ 이고 정리하면 $\displaystyle c=a-b$ 이다. 따라서 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(a-b,-b^{2}\right)$ 이다.직선 PQ의 기울기는 $\displaystyle \frac{-b^{2}-(b^{2}+1)}{(a-b)-b}=\frac{-2b^{2}-1}{a-2b}$ 이다.직선 PQ가 직선 $\displaystyle l_{1}$ 과 수직이므로 $\displaystyle 2b\times\left(\frac{-2b^{2}-1}{a-2b}\right)=-1$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=4b^{3}+4b\qquad\cdots\cdots\ (*)$

또한 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(4b^{3}+3b,-b^{2}\right)$ 이다. 점 P의 좌표가 $\displaystyle (b,b^{2}+1)$ 이므로 $\displaystyle L=\sqrt{\left(4b^{3}+2b\right)^{2}+\left(2b^{2}+1\right)^{2}}=\sqrt{4b^{2}\left(2b^{2}+1\right)^{2}+\left(2b^{2}+1\right)^{2}}=\left(2b^{2}+1\right)\sqrt{4b^{2}+1}$ $\displaystyle \frac{dL}{db}=4b\sqrt{4b^{2}+1}+\left(2b^{2}+1\right)\times\frac{8b}{2\sqrt{4b^{2}+1}}=\frac{8b\left(3b^{2}+1\right)}{\sqrt{4b^{2}+1}}$

$\displaystyle a=8$ 일 때 $\displaystyle (*)$ 에 의해 $\displaystyle b=1$ 이고, $\displaystyle \frac{dL}{db}=\frac{32}{\sqrt{5}}$ . $\displaystyle (*)$ 에서 $\displaystyle \frac{da}{db}=12b^{2}+4$ 이고, 역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle \frac{db}{da}=\frac{1}{12b^{2}+4}$ 이다. $\displaystyle b=1$ 일 때, $\displaystyle \frac{db}{da}=\frac{1}{16}$ 이다.따라서 $\displaystyle a=8$ 일 때 $\displaystyle \frac{dL}{da}=\frac{dL}{db}\times\frac{db}{da}=\frac{32}{\sqrt{5}}\times\frac{1}{16}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$

하위 문항	채점 기준	배점
문제 3	A+: 답과 풀이가 맞음. A: 풀이가 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. B+: $\displaystyle \frac{db}{da}=\frac{1}{12b^{2}+4}$ 를 구함. B: $\displaystyle L$ 을 $\displaystyle b$ 에 대한 식으로 표현하고, $\displaystyle \frac{dL}{db}=\frac{8b(3b^{2}+1)}{\sqrt{4b^{2}+1}}$ 을 구함. C: $\displaystyle \mathrm{P}(1,2)$ 를 정확히 구함. D: 풀이과 관계있는 의미 있는 시도를 함. F: 답안이 공란이거나 문제와 관련없는 내용을 적음.	29점

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자연계열 3번

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