자연계열 1번

정답: $\displaystyle \dfrac{709}{250}$

[풀이] 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle a_{n}=k$이면 $\displaystyle \log_{3} n-1<k\le\log_{3} n$이므로, $\displaystyle \log_{3} n<k+1$이고 $\displaystyle k\le\log_{3} n$이다.따라서 $\displaystyle 3^{k}\le n<3^{k+1}$이다. 즉, $\displaystyle 3^{k}\le n<3^{k+1}$일 때 $\displaystyle a_{n}=k$이다.이때, $\displaystyle n$이 자연수이므로 $\displaystyle k$는 0 이상의 정수이다.

또한 $\displaystyle 0\le k\le 3$일 때, $\displaystyle 3^{k}\le n<3^{k+1}$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$의 개수는 $\displaystyle 3^{k+1}-3^{k}=2\times 3^{k}$이다.$\displaystyle k=0$ 일 때, $\displaystyle 2\times 3^{0}=2$개.$\displaystyle k=1$ 일 때, $\displaystyle 2\times 3^{1}=6$개.$\displaystyle k=2$ 일 때, $\displaystyle 2\times 3^{2}=18$개.$\displaystyle k=3$ 일 때, $\displaystyle 2\times 3^{3}=54$개.그리고, $\displaystyle k=4$ 일 때, $\displaystyle 81\le n\le 100$이므로 20개이다. 따라서 주어진 합은$\displaystyle \begin{aligned} &\left(10^{0}\times 2\right)+\left(10^{-1}\times 6\right)+\left(10^{-2}\times 18\right)+\left(10^{-3}\times 54\right)+\left(10^{-4}\times 20\right) \\ &=\frac{2836}{1000}=\frac{709}{250}. \end{aligned}$