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자연계열 1번

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건국대 2027학년도 모의 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/konkuk/2027mo/jayeon_1

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문제

제시문 1

(가) a>0\displaystyle a>0, a≠1\displaystyle a\neq 1일 때, 양수 N\displaystyle N에 대하여 ax=N\displaystyle a^{x}=N을 만족시키는 실수 x\displaystyle x는 오직 하나 존재함이 알려져 있다. 이 실수 x\displaystyle x를log⁡aN\displaystyle \log_{a} N으로 나타내고, a\displaystyle a를 밑으로 하는 N\displaystyle N의 로그라고 한다.

(나) 수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}의 첫째항부터 제 n\displaystyle n항까지의 합 a1+a2+a3+⋯+an\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}을 기호 ∑\displaystyle \sum를 사용하여 ∑k=1nak\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}와 같이 나타낼 수 있다. 즉a1+a2+a3+⋯+an=∑k=1nak\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}

[문제 1] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 정수 an\displaystyle a_{n}이 부등식 log⁡3n−1<an≤log⁡3n\displaystyle \log_{3} n-1<a_{n}\le\log_{3} n을 만족할 때, ∑n=110010−an\displaystyle \sum_{n=1}^{100} 10^{-a_{n}}의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [17점]

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정답: 709250\displaystyle \dfrac{709}{250}

[풀이] 정수 k\displaystyle k에 대해 an=k\displaystyle a_{n}=k이면 log⁡3n−1<k≤log⁡3n\displaystyle \log_{3} n-1<k\le\log_{3} n이므로, log⁡3n<k+1\displaystyle \log_{3} n<k+1이고 k≤log⁡3n\displaystyle k\le\log_{3} n이다.따라서 3k≤n<3k+1\displaystyle 3^{k}\le n<3^{k+1}이다. 즉, 3k≤n<3k+1\displaystyle 3^{k}\le n<3^{k+1}일 때 an=k\displaystyle a_{n}=k이다.이때, n\displaystyle n이 자연수이므로 k\displaystyle k는 0 이상의 정수이다.

또한 0≤k≤3\displaystyle 0\le k\le 3일 때, 3k≤n<3k+1\displaystyle 3^{k}\le n<3^{k+1}을 만족시키는 자연수 n\displaystyle n의 개수는 3k+1−3k=2×3k\displaystyle 3^{k+1}-3^{k}=2\times 3^{k}이다.k=0\displaystyle k=0 일 때, 2×30=2\displaystyle 2\times 3^{0}=2개.k=1\displaystyle k=1 일 때, 2×31=6\displaystyle 2\times 3^{1}=6개.k=2\displaystyle k=2 일 때, 2×32=18\displaystyle 2\times 3^{2}=18개.k=3\displaystyle k=3 일 때, 2×33=54\displaystyle 2\times 3^{3}=54개.그리고, k=4\displaystyle k=4 일 때, 81≤n≤100\displaystyle 81\le n\le 100이므로 20개이다. 따라서 주어진 합은(100×2)+(10−1×6)+(10−2×18)+(10−3×54)+(10−4×20)=28361000=709250.\displaystyle \begin{aligned} &\left(10^{0}\times 2\right)+\left(10^{-1}\times 6\right)+\left(10^{-2}\times 18\right)+\left(10^{-3}\times 54\right)+\left(10^{-4}\times 20\right) \\ &=\frac{2836}{1000}=\frac{709}{250}. \end{aligned}

하위 문항채점 기준배점
문제 1A+: 답과 풀이가 맞음 A: 풀이가 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음 B+: 수열의 합을 수식으로 정확히 표현함 B: an=k\displaystyle a_{n}=k를 만족하는 an\displaystyle a_{n}의 개수를 구함 C: 주어진 조건을 풀어서 수열의 항을 한 개 이상 구함 D: 풀이와 관계있는 의미 있는 시도를 함 F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음17점

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