통합계열 2번

[문제 2-1] 정답: $\displaystyle a=600$, $\displaystyle b=300$, $\displaystyle c=200$

[풀이] 100초가 지났을 때 처음 양의 $\displaystyle \frac{1}{10}$이 되므로, $\displaystyle r^{100}=\frac{1}{10}$이고, 따라서 $\displaystyle \log r=-\frac{1}{100}$이다. 조건으로부터$\displaystyle r^{t_{1}}=\frac{1}{20},\quad r^{t_{2}}=\frac{1}{30},\quad r^{t_{3}}=\frac{1}{40},\quad r^{t_{4}}=\frac{1}{50},\quad r^{t_{5}}=\frac{1}{60}.$

$\displaystyle r^{t_{1}}=\frac{1}{20}$에서 $\displaystyle t_{1}\log r=\log\frac{1}{20}=-\log 20$이고 $\displaystyle t_{1}=\frac{-\log 20}{\log r}=100\log 20$이다.

비슷하게 $\displaystyle t_{2}=100\log 30$, $\displaystyle t_{3}=100\log 40$, $\displaystyle t_{4}=100\log 50$, $\displaystyle t_{5}=100\log 60$이므로$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{5} t_{k} &=100(\log 20+\log 30+\log 40+\log 50+\log 60) \\ &=100\log(20\times 30\times 40\times 50\times 60) \\ &=100\log\left(10^{6}\times 2^{3}\times 3^{2}\right) \\ &=600+300\log 2+200\log 3 \end{aligned}$

따라서 $\displaystyle a=600$, $\displaystyle b=300$, $\displaystyle c=200$이다.

[문제 2-2] 정답: $\displaystyle \dfrac{1}{2}<a<2$

[풀이] 두 점이 같은 위치에 있는 시각을 $\displaystyle x$라 하면, $\displaystyle \int_{0}^{x} t(t-1)(t-a)dt=0$이 성립한다. 즉,$\displaystyle \frac{1}{4}x^{4}-\frac{a+1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}ax^{2}=x^{2}\left(\frac{1}{4}x^{2}-\frac{a+1}{3}x+\frac{1}{2}a\right)=0.$

출발한 이후에는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 같은 위치에 있는 순간이 발생하지 않을 조건은 이차방정식$\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}-\frac{a+1}{3}x+\frac{1}{2}a=0$이 $\displaystyle x>0$인 범위에서 해가 없을 조건과 같다. 문제의 조건에서 $\displaystyle a>0$이므로 이차함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{a+1}{3}x+\frac{1}{2}a$의 그래프의 축이 $\displaystyle y$축의 오른쪽에 있다.

따라서 이차함수의 그래프가 $\displaystyle x$축과 만나지 않을 조건을 구하면 된다. 즉, 판별식에 대한 다음 조건을 풀면 된다.$\displaystyle D=\left(\frac{a+1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{2}a=\frac{1}{18}(2a-1)(a-2)<0$

이 부등식을 문제에서 주어진 조건 $\displaystyle a>0$과 함께 고려하면 구하는 답은 $\displaystyle \frac{1}{2}<a<2$이다.

[문제 2-3] 정답: $\displaystyle \dfrac{25\sqrt{5}}{8}$

[풀이] 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+1\ (x\ge 0)$와 함수 $\displaystyle g(x)=\sqrt{2x-2}\ (x\ge 1)$는 서로 역함수이므로 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$와 점 $\displaystyle \mathrm{D}$, $\displaystyle \mathrm{C}$는 직선 $\displaystyle y=x$에 대칭이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$라 하면 네 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$, $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 아래와 같다.$\displaystyle \mathrm{A}\left(a,\frac{1}{2}a^{2}+1\right),\ \mathrm{B}\left(b,\frac{1}{2}b^{2}+1\right),\ \mathrm{C}\left(\frac{1}{2}b^{2}+1,b\right),\ \mathrm{D}\left(\frac{1}{2}a^{2}+1,a\right)$

곡선 $\displaystyle C_{1}$의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle a$이고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle b$이다. 곡선 $\displaystyle C_{1}$의 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서의 접선과 곡선 $\displaystyle C_{2}$의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선이 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이므로, 곡선 $\displaystyle C_{2}$의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{1}{b}$이다.

따라서 곡선 $\displaystyle C_{1}$의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서의 접선의 방정식과 곡선 $\displaystyle C_{2}$의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선의 방정식은 각각 아래와 같다.$\displaystyle y-\left(\frac{1}{2}a^{2}+1\right)=a(x-a),\qquad y-b=\frac{1}{b}\left(x-\frac{1}{2}b^{2}-1\right)$각각의 방정식을 정리하면$\displaystyle y=ax-\frac{1}{2}a^{2}+1,\qquad y=\frac{1}{b}x+\frac{b}{2}-\frac{1}{b}.$

두 접선이 동일한 직선이므로 $\displaystyle a=\frac{1}{b}$이고 $\displaystyle -\frac{1}{2}a^{2}+1=\frac{b}{2}-\frac{1}{b}$이다. 두 식을 연립하면 $\displaystyle -\frac{1}{2}a^{2}+1=\frac{1}{2a}-a$에서$\displaystyle a^{3}-2a^{2}-2a+1=(a+1)\left(a^{2}-3a+1\right)=0$이므로 $\displaystyle a=-1,\ \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$이다. $\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle a<b=\frac{1}{a}$이므로 $\displaystyle a^{2}<1$이고 $\displaystyle 0<a<1$이다. 따라서$\displaystyle a=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\ b=\frac{1}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\ \frac{1}{2}a^{2}+1=\frac{11-3\sqrt{5}}{4},\ \frac{1}{2}b^{2}+1=\frac{11+3\sqrt{5}}{4}$이고 네 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$, $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는$\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{11-3\sqrt{5}}{4}\right),\ \mathrm{B}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{11+3\sqrt{5}}{4}\right),\ \mathrm{C}\left(\frac{11+3\sqrt{5}}{4},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right),\ \mathrm{D}\left(\frac{11-3\sqrt{5}}{4},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right).$

직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$는 모두 기울기가 $\displaystyle -1$이므로 평행하다. 따라서 사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$는 한 쌍의 대변이 평행하므로 사다리꼴이다.직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$라 하면 사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}\times d\times\left(\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{BC}}\right).$

$\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} =\sqrt{\left(\frac{11-3\sqrt{5}}{4}-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}-\frac{11-3\sqrt{5}}{4}\right)^{2}} =\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)^{2}+\left(\frac{-5+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}}=\frac{5-\sqrt{5}}{4}\times\sqrt{2}$이다.

같은 방법으로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\frac{5+\sqrt{5}}{4}\times\sqrt{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{BC}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 사이의 거리 $\displaystyle d$는 점 $\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{11-3\sqrt{5}}{4}\right)$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$에 이르는 거리이다.직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 방정식이 $\displaystyle x+y-\frac{17+5\sqrt{5}}{4}=0$이므로$\displaystyle d=\frac{\left|\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{11-3\sqrt{5}}{4}-\frac{17+5\sqrt{5}}{4}\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{10\sqrt{5}}{4}=\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}.$

사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}\times d\times\left(\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{BC}}\right)=\frac{1}{2}\times\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\times\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{25\sqrt{5}}{8}.$