자연계열 2번

정답: $\displaystyle f^{\prime}(1)=\dfrac{2\sqrt{13}}{17}$

[풀이] 두 접점 중 아래쪽에 있는 접점을 $\displaystyle \mathrm{B}$라 하고 위쪽에 있는 접점을 $\displaystyle \mathrm{C}$라 하면$\displaystyle f(t)=$ (사각형 $\displaystyle \mathrm{ABOC}$의 넓이) $\displaystyle -$ (부채꼴 $\displaystyle \mathrm{BOC}$의 넓이).

$\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\sqrt{16+t^{2}}$이고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABO}$와 $\displaystyle \mathrm{ACO}$가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{16+t^{2}-2^{2}}=\sqrt{12+t^{2}}$이고사각형 $\displaystyle \mathrm{ABOC}$의 넓이 $\displaystyle =2\times(\triangle\mathrm{ABO}$의 넓이$\displaystyle )=2\times\frac{1}{2}\times\sqrt{12+t^{2}}\times 2=2\sqrt{12+t^{2}}$.

두 직선이 이루는 각 중 도형 안쪽에 있는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하면, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{BOC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 2^{2}\times(\pi-\theta)=2(\pi-\theta)$이다. 따라서,$\displaystyle f(t)=2\sqrt{12+t^{2}}+2\theta-2\pi.$

양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{2t}{\sqrt{12+t^{2}}}+2\times\frac{d\theta}{dt}.$

$\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$의 값을 구하자.직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABO}$에서 $\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\overline{\mathrm{BO}}}{\overline{\mathrm{AO}}}=\frac{2}{\sqrt{16+t^{2}}}$이다. $\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{2}{\sqrt{16+t^{2}}}$의 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면$\displaystyle \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\times\frac{d\theta}{dt}=\frac{-2t}{\left(16+t^{2}\right)^{3/2}}.$

$\displaystyle t=1$일 때, $\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\overline{\mathrm{BO}}}{\overline{\mathrm{AO}}}=\frac{2}{\sqrt{17}}$이고 $\displaystyle \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AO}}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}$이므로$\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}\times\frac{d\theta}{dt}=\frac{-2}{17\sqrt{17}}$

따라서 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{-4}{17\sqrt{13}}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{2}{\sqrt{13}}-\frac{8}{17\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{17}$이다.