건국대 2027학년도 모의 자연계열 2번 해설

제시문 2

(가) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 미분계수는 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

(나) 그림에서 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-4,t)$ 에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 원에 그은 두 접선이 $\displaystyle l_{1}$ , $\displaystyle l_{2}$ 이다.

원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원과, 점 A(-4, t)에서 그은 두 접선 l₁, l₂. 두 접선과 원으로 둘러싸인 부분이 색칠되어 있다.

[문제 2] (나)에서 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-4,t)$ 에서 원에 그은 두 접선 $\displaystyle l_{1}$ , $\displaystyle l_{2}$ 와 원으로 둘러싸인 색칠된 도형의 넓이를 $\displaystyle f(t)$ 라 하자. 이때, $\displaystyle t=1$ 에서의 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ 의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [23점]

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정답: $\displaystyle f^{\prime}(1)=\dfrac{2\sqrt{13}}{17}$

[풀이] 두 접점 중 아래쪽에 있는 접점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 하고 위쪽에 있는 접점을 $\displaystyle \mathrm{C}$ 라 하면 $\displaystyle f(t)=$ (사각형 $\displaystyle \mathrm{ABOC}$ 의 넓이) $\displaystyle -$ (부채꼴 $\displaystyle \mathrm{BOC}$ 의 넓이).

$\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\sqrt{16+t^{2}}$ 이고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABO}$ 와 $\displaystyle \mathrm{ACO}$ 가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{16+t^{2}-2^{2}}=\sqrt{12+t^{2}}$ 이고사각형 $\displaystyle \mathrm{ABOC}$ 의 넓이 $\displaystyle =2\times(\triangle\mathrm{ABO}$ 의 넓이 $\displaystyle )=2\times\frac{1}{2}\times\sqrt{12+t^{2}}\times 2=2\sqrt{12+t^{2}}$ .

두 직선이 이루는 각 중 도형 안쪽에 있는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라 하면, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{BOC}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 2^{2}\times(\pi-\theta)=2(\pi-\theta)$ 이다. 따라서, $\displaystyle f(t)=2\sqrt{12+t^{2}}+2\theta-2\pi.$

양변을 $\displaystyle t$ 에 대해 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{2t}{\sqrt{12+t^{2}}}+2\times\frac{d\theta}{dt}.$

$\displaystyle t=1$ 일 때 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$ 의 값을 구하자.직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABO}$ 에서 $\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\overline{\mathrm{BO}}}{\overline{\mathrm{AO}}}=\frac{2}{\sqrt{16+t^{2}}}$ 이다. $\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{2}{\sqrt{16+t^{2}}}$ 의 양변을 $\displaystyle t$ 에 대해 미분하면 $\displaystyle \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\times\frac{d\theta}{dt}=\frac{-2t}{\left(16+t^{2}\right)^{3/2}}.$

$\displaystyle t=1$ 일 때, $\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\overline{\mathrm{BO}}}{\overline{\mathrm{AO}}}=\frac{2}{\sqrt{17}}$ 이고 $\displaystyle \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AO}}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}\times\frac{d\theta}{dt}=\frac{-2}{17\sqrt{17}}$

따라서 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{-4}{17\sqrt{13}}$ 이고 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{2}{\sqrt{13}}-\frac{8}{17\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{17}$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
문제 2	A+: 답과 풀이가 모두 맞음 A: 풀이가 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음 B+: $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{2t}{\sqrt{12+t^{2}}}+2\times\frac{d\theta}{dt}$ 를 구하고, $\displaystyle t=1$ 일 때의 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$ 의 값을 정확히 구함 B: $\displaystyle f(t)$ 를 구하고, $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{2t}{\sqrt{12+t^{2}}}+2\times\frac{d\theta}{dt}$ 를 구함 C: 도형의 넓이 $\displaystyle f(t)$ 를 구함 D: 풀이와 관계있는 의미 있는 시도를 함 F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음	23점

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자연계열 2번

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