자연계열 3번

정답: $\displaystyle \dfrac{5}{8}$

[풀이] 7개의 점 중 3개를 택하는 사건을 $\displaystyle X$, 3개를 택하여 연결했을 때 삼각형이 되는 사건을 $\displaystyle Y$, 3개를 택하여 연결했을 때 정삼각형이 되거나 넓이가 2보다 큰 삼각형이 되는 사건을 $\displaystyle Z$라 하자.$\displaystyle n(X)={}_{7}\mathrm{C}_{3}=35$이다.

점 3개를 택했을 때 이 세 점이 같은 직선 위에 있으면 삼각형이 되지 않고, 이 경우는 $\displaystyle \mathrm{AOD}$, $\displaystyle \mathrm{BOE}$, $\displaystyle \mathrm{COF}$의 3가지이다. 따라서 $\displaystyle n(Y)=35-3=32$이다. 이 32개의 삼각형은 다음 5가지 유형으로 나눌 수 있다.

유형1: 원점과 원 위에 있는 이웃한 두 점 (예: $\displaystyle \mathrm{OAB}$). 6가지. 넓이는 $\displaystyle \sqrt{3}<2$.유형2: 원 위에 잇달아 있는 점 3개 (예: $\displaystyle \mathrm{ABC}$). 6가지. 넓이는 $\displaystyle \sqrt{3}<2$.유형3: 원점과 원 위에 있는 서로 이웃하지 않는 두 점 (예: $\displaystyle \mathrm{OAC}$). 6가지. 넓이는 $\displaystyle \sqrt{3}<2$.유형4: 원 위에 있는 세 점으로서, 두 점이 서로 원점에 대해 대칭 (예: $\displaystyle \mathrm{ABD}$). 대칭인 점은 3쌍이 있고, 각각에 대해 4개씩 세 번째 점을 택할 수 있으므로 $\displaystyle 3\times 4=12$가지. 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt{3}>2$.유형5: 세 점이 원 위에 있고 서로 같은 간격일 때. $\displaystyle \mathrm{ACE}$, $\displaystyle \mathrm{BDF}$의 2가지. 넓이는 $\displaystyle 3\sqrt{3}>2$.

이 중 정삼각형이 되는 것은 유형1과 유형5의 8가지이다. 따라서 정삼각형이거나 넓이가 2보다 큰 삼각형이 되는 경우는 유형1, 유형4, 유형5의 20가지이고, $\displaystyle n(Z)=20$이다.

따라서$\displaystyle \mathrm{P}(Z|Y)=\frac{\mathrm{P}(Y\cap Z)}{\mathrm{P}(Y)}=\frac{\ \frac{20}{35}\ }{\ \frac{32}{35}\ }=\frac{5}{8}$이다.