자연계열 4번

정답: $\displaystyle \dfrac{3+\sqrt{10}}{2}$

[풀이] 직선 $\displaystyle y=mx$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_{1}$이라 하면 $\displaystyle \tan\theta_{1}=m$이다.직선 $\displaystyle y=mx$와 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+2x$의 두 방정식을 연립하여 풀어 구하면 $\displaystyle \mathrm{A}(2-m,\ 2m-m^{2})$이다.$\displaystyle y=-x^{2}+2x$일 때 $\displaystyle y^{\prime}=-2x+2$이므로 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}+2x$의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2m-2$이다.이 접선과 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_{2}$라 하면 $\displaystyle \tan\theta_{2}=2m-2$이다.

$\displaystyle g(m)=\tan\alpha$라 하자.$\displaystyle g(m)=\tan\alpha=\tan(\theta_{1}-\theta_{2}) =\frac{\tan\theta_{1}-\tan\theta_{2}}{1+\tan\theta_{1}\times\tan\theta_{2}} =\frac{m-(2m-2)}{1+m\times(2m-2)}=\frac{-m+2}{2m^{2}-2m+1}$

$\displaystyle g^{\prime}(m) =\frac{-\left(2m^{2}-2m+1\right)-(-m+2)(4m-2)}{\left(2m^{2}-2m+1\right)^{2}} =\frac{2m^{2}-8m+3}{\left(2m^{2}-2m+1\right)^{2}}$

$\displaystyle g^{\prime}(m)=0$이면 $\displaystyle 2m^{2}-8m+3=0$이고 $\displaystyle m=\frac{4\pm\sqrt{10}}{2}$이다.$\displaystyle 0\le m\le 1$이므로 $\displaystyle m=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$이다. $\displaystyle m<\frac{4-\sqrt{10}}{2}$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(m)>0$이고 $\displaystyle m>\frac{4-\sqrt{10}}{2}$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(m)<0$이므로 함수 $\displaystyle g(m)$은 $\displaystyle 0\le m\le 1$에서 $\displaystyle m=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$일 때 최댓값을 갖는다.

$\displaystyle g\left(\frac{4-\sqrt{10}}{2}\right)=\frac{-\left(\frac{4-\sqrt{10}}{2}\right)+2}{2\left(\frac{4-\sqrt{10}}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{4-\sqrt{10}}{2}\right)+1}=\frac{\sqrt{10}}{20-6\sqrt{10}}=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$