자연계열 1번

(1) $\displaystyle g(1)$과 $\displaystyle g(2)$의 값을 차례로 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}g(1)&=\int_0^3|x-(-1)^1|f(x)\,dx=\int_0^3|x+1|f(x)\,dx\\&=\int_0^1(x+1)(3x+1)\,dx+\int_1^32(x+1)\,dx=16,\\g(2)&=\int_0^3|x-(-1)^2|f(x)\,dx=\int_0^3|x-1|f(x)\,dx\\&=\int_0^1-(x-1)(3x+1)\,dx+\int_1^32(x-1)\,dx=5\end{aligned}$따라서 $\displaystyle g(1)+g(2)=21$이다.

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=2011$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$을 구하기 위해 다음의 $\displaystyle 2$가지 경우를 고려해 보자.(ⅰ) $\displaystyle n$이 홀수인 경우$\displaystyle g(1)=g(3)=g(5)=\cdots$이고 $\displaystyle g(2)=g(4)=g(6)=\cdots$이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=(16+5)\frac{(n-1)}2+16=2011$이다. 따라서 $\displaystyle n=191$이다.(ⅱ) $\displaystyle n$이 짝수인 경우경우 (ⅰ)과 같은 방식으로 $\displaystyle n$을 구해보면$\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=(16+5)\frac n2=2011$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 존재하지 않는다.위의 (ⅰ)-(ⅱ)의 결과로부터 $\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=2011$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$의 값은 $\displaystyle 191$이다.