자연계열 1번

한국기술교육대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2022mo/jayeon_1

두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(n)$ 이 주어진 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (20점)

(가) $\displaystyle f(x)=\begin{cases}3x+1&(x<1)\\2&(x\ge1)\end{cases}$ (나) $\displaystyle g(n)=\int_0^3|x-(-1)^n|f(x)\,dx$ (단, $\displaystyle n$ 은 자연수)

(1) $\displaystyle g(1)+g(2)$ 의 값을 구하시오. (10점)

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=2011$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$ 의 값을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2022mo/jayeon_1

+5점 ·

\displaystyle g(1)=16

을 구할 수 있다.

+5점 ·

\displaystyle g(2)=5

를 구할 수 있다.

(1) $\displaystyle g(1)$ 과 $\displaystyle g(2)$ 의 값을 차례로 구하면 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}g(1)&=\int_0^3|x-(-1)^1|f(x)\,dx=\int_0^3|x+1|f(x)\,dx\\&=\int_0^1(x+1)(3x+1)\,dx+\int_1^32(x+1)\,dx=16,\\g(2)&=\int_0^3|x-(-1)^2|f(x)\,dx=\int_0^3|x-1|f(x)\,dx\\&=\int_0^1-(x-1)(3x+1)\,dx+\int_1^32(x-1)\,dx=5\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle g(1)+g(2)=21$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle g(1)=g(3)=g(5)=\cdots

이고

\displaystyle g(2)=g(4)=g(6)=\cdots

임을 구할 수 있다.

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=2011$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$ 을 구하기 위해 다음의 $\displaystyle 2$ 가지 경우를 고려해 보자.(ⅰ) $\displaystyle n$ 이 홀수인 경우 $\displaystyle g(1)=g(3)=g(5)=\cdots$ 이고 $\displaystyle g(2)=g(4)=g(6)=\cdots$ 이므로

+5점 ·

\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=2011

을 만족하는

\displaystyle n=191

을 구할 수 있다.

$\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=(16+5)\frac{(n-1)}2+16=2011$ 이다. 따라서 $\displaystyle n=191$ 이다.(ⅱ) $\displaystyle n$ 이 짝수인 경우경우 (ⅰ)과 같은 방식으로 $\displaystyle n$ 을 구해보면 $\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=(16+5)\frac n2=2011$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$ 은 존재하지 않는다.위의 (ⅰ)-(ⅱ)의 결과로부터 $\displaystyle \sum_{k=1}^ng(k)=2011$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$ 의 값은 $\displaystyle 191$ 이다.

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