자연계열 2번

(1) 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$는 곡선 $\displaystyle y=x^2-5$와 $\displaystyle x$축이 만나는 점이므로, 각각의 좌표는 $\displaystyle A(-\sqrt5,0)$, $\displaystyle B(\sqrt5,0)$이다.

삼각형 $\displaystyle PAB$의 넓이를 $\displaystyle S(a)$라 할 때, $\displaystyle a>\sqrt5$이므로$\displaystyle S(a)=\frac12\times2\sqrt5\times(a^2-5)=\sqrt5(a^2-5)$이다.

(2) 점 $\displaystyle C$는 곡선 $\displaystyle y=x^2-5$와 $\displaystyle y$축이 만나는 점이므로, 점 $\displaystyle C$의 좌표는 $\displaystyle C(0,-5)$이다. 점 $\displaystyle P(a,a^2-5)$와 $\displaystyle C(0,-5)$를 지나는 직선을 $\displaystyle l$이라 하고, 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 $\displaystyle D$라 하자. 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=ax-5$이고, 점 $\displaystyle D$의 좌표는 $\displaystyle D\left(\frac5a,0\right)$이다. 삼각형 $\displaystyle PCB$의 넓이는 두 삼각형 $\displaystyle PDB$와 $\displaystyle CBD$에 대한 넓이의 합과 동일하므로, 삼각형 $\displaystyle PCB$의 넓이 $\displaystyle T(a)$는$\displaystyle T(a)=\frac12\times\left(\sqrt5-\frac5a\right)\times(a^2-5)+\frac12\times\left(\sqrt5-\frac5a\right)\times5=\frac{a^2}{2}\left(\sqrt5-\frac5a\right)$이다.

따라서 문제에서 구하고자 하는 극한값은 다음과 같다.$\displaystyle \lim_{a\to\sqrt5+}\frac{S(a)}{T(a)}=\lim_{a\to\sqrt5+}\frac{2(a+\sqrt5)}a=4$