자연계열 3번

여기서 $\displaystyle 5\pi\le x\le7\pi$일 때, 방정식 $\displaystyle f(x)=\frac12$의 해는 $\displaystyle x=6\pi+\frac\pi3$이고 $\displaystyle f(x)=-\frac12$의 해는 $\displaystyle x=6\pi-\frac\pi3$이다.

위의 그래프로부터 부등식 $\displaystyle |f(x)|\le\frac12$의 해집합은$\displaystyle \left\{x\mid6\pi-\frac\pi3\le x\le6\pi+\frac\pi3\right\}$이고, 따라서 $\displaystyle \alpha=6\pi-\frac\pi3$, $\displaystyle \beta=6\pi+\frac\pi3$이다. 그러므로 $\displaystyle \beta-\alpha=\frac23\pi$이다.

위의 그래프로부터 구간 $\displaystyle [0,8\pi]$에서 해는 $\displaystyle x_1$, $\displaystyle 2\pi-x_1$, $\displaystyle 6\pi+x_1$, $\displaystyle 8\pi-x_1$이므로 구간 $\displaystyle [0,8\pi]$에서 해의 합은 $\displaystyle 16\pi$이다. 또한 함수 $\displaystyle f(x)$의 주기가 $\displaystyle 8\pi$이므로 구간 $\displaystyle [8\pi,16\pi]$에서 해의 합은 $\displaystyle 16\pi+32\pi$이다.같은 방법으로 구간 $\displaystyle [8(n-1)\pi,8n\pi]$에서 해의 합을 $\displaystyle a_n$이라 하면$\displaystyle a_n=16\pi+32(n-1)\pi$ (단, $\displaystyle 1\le n\le12$)이다.즉, $\displaystyle a_n$은 첫째항이 $\displaystyle a_1=16\pi$이고 공차가 $\displaystyle d=32\pi$인 등차수열이다.

따라서 구간 $\displaystyle [0,96\pi]$에서 해의 합은 등차수열의 합의 공식으로부터$\displaystyle S_{12}=\sum_{i=1}^{12}a_i=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}2=\frac{12(2\times16\pi+11\times32\pi)}2=2304\pi$이다.

또한 구간 $\displaystyle [96\pi,100\pi]$에서의 해는 $\displaystyle 96\pi+x_1$, $\displaystyle 98\pi-x_1$이므로 이 구간에서의 해의 합은 $\displaystyle 194\pi$이다. 그러므로 $\displaystyle 0\le x\le100\pi$일 때, 방정식 $\displaystyle f(x)=\frac25$의 모든 해의 합은 $\displaystyle 2304\pi+194\pi=2498\pi$이다.