자연계열 5번

(1) $\displaystyle 12$의 양의 약수는 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 12$이고, 각각의 약수의 개수는 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 6$이다. $\displaystyle f(1)$과 $\displaystyle f(4)$는 홀수이고, $\displaystyle f(2)$, $\displaystyle f(3)$, $\displaystyle f(6)$, $\displaystyle f(12)$는 짝수이다. 그러면$\displaystyle \begin{aligned}c&=-\{\log_21+\log_24\}+\{\log_22+\log_23+\log_26+\log_212\}\\&=\log_2\frac{2\times3\times6\times12}{1\times4}=\log_2108\end{aligned}$이고,

따라서 $\displaystyle 2^c=108$이다.

(2) $\displaystyle m=a\log_3b$일 때, $\displaystyle m=\log_3b^a$이고 $\displaystyle b^a=3^m$이다.

어떤 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle b=3^k$이면, $\displaystyle 3^{ka}=3^m$이고 $\displaystyle ka=m$이다.$\displaystyle n(B_m)=6$을 만족하기 위해서는 $\displaystyle m$의 약수의 개수는 $\displaystyle 6$이어야 할 것이다.$\displaystyle m$을 소인수분해 했을 때, 다음과 같이 서로 다른 소수의 개수에 따라 분류하여 문제를 해결하고자 한다.(ⅰ) $\displaystyle m$을 소인수분해 했을 때 서로 다른 소수가 $\displaystyle 1$개인 경우즉, $\displaystyle m=p^a$(단, $\displaystyle p$는 소수)이고 이 경우에 대한 약수의 개수는 $\displaystyle a+1$이다. $\displaystyle m$의 약수의 개수는 $\displaystyle 6$이어야 하므로 $\displaystyle a=5$이어야 할 것이고, $\displaystyle 50$이하의 자연수 중에서는 $\displaystyle m=2^5=32$인 경우만 가능하다.(ⅱ) $\displaystyle m$을 소인수분해 했을 때 서로 다른 소수가 $\displaystyle 2$개인 경우즉, $\displaystyle m=p^aq^b$(단, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 소수, $\displaystyle a\le b$)이고 이 경우에 대한 약수의 개수는 $\displaystyle (a+1)(b+1)$이다. $\displaystyle m$의 약수의 개수는 $\displaystyle 6$이어야 하므로 $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=2$이어야 할 것이고, $\displaystyle (p,q)=(2,3)$, $\displaystyle (2,5)$, $\displaystyle (3,2)$, $\displaystyle (5,2)$, $\displaystyle (5,3)$, $\displaystyle (7,2)$, $\displaystyle (11,2)$에 대하여 자연수 $\displaystyle m$은$\displaystyle m=2\times3^2,\ 2\times5^2,\ 3\times2^2,\ 5\times2^2,\ 5\times3^2,\ 7\times2^2,\ 11\times2^2$이다. 즉, $\displaystyle m=18$, $\displaystyle 50$, $\displaystyle 12$, $\displaystyle 20$, $\displaystyle 45$, $\displaystyle 28$, $\displaystyle 44$인 경우 가능하다.(ⅲ) $\displaystyle m$을 소인수분해 했을 때 서로 다른 소수가 $\displaystyle 3$개 이상인 경우이 경우 주어진 상황을 만족하는 자연수 $\displaystyle m$은 없다.

위의 (ⅰ)-(ⅲ)의 결과로부터 문제의 상황을 만족하는 자연수 $\displaystyle m$의 총 개수는 $\displaystyle 8$이다.