자연계열 4번

(1) 문제의 주어진 조건에서 등식의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)=f(x)+xf^{\prime}(x)+3x^3+2ax^2+3x$$\displaystyle (1-x)f^{\prime}(x)=3x^3+2ax^2+3x$ --- ①이다. 식 ①의 양변에 $\displaystyle x=1$을 대입하면$\displaystyle 0=3+2a+3$이고, 따라서 $\displaystyle a=-3$이다.

$\displaystyle f(x)$는 다항함수이므로 식 ①로부터 다음의 결과를 얻을 수 있다.$\displaystyle (1-x)f^{\prime}(x)=3x^3-6x^2+3x$$\displaystyle (1-x)f^{\prime}(x)=3x(x-1)^2$$\displaystyle f^{\prime}(x)=-3x(x-1)$ --- ②

여기서 $\displaystyle b>0$이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 개형은 (ⅱ)의 경우가 되어야 할 것이다. 따라서 $\displaystyle f(0)=2$, $\displaystyle f(b)=0$이다.

식 ②로부터 함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=\int\{-3x(x-1)\}\,dx=-x^3+\frac32x^2+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수)이므로, $\displaystyle f(0)=C=2$이고$\displaystyle f(b)=-b^3+\frac32b^2+2=-\frac12(2b^3-3b^2-4)=-\frac12(b-2)(2b^2+b+2)=0$이다. 그러므로 $\displaystyle b=2$($\displaystyle b>0$)이고

$\displaystyle f(2b)=f(4)=-38$이다.