자연계열 2번

(2) $\displaystyle\int_0^2x^2dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nx_k^2\Delta x$ (단, $\displaystyle x_k=0+k\Delta x,~\Delta x=\dfrac{2-0}n$),

$\displaystyle \begin{aligned}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{2k}n\right)^2\dfrac2n=\lim_{n\to\infty}\dfrac8{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\lim_{n\to\infty}\dfrac8{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac83\cdot\dfrac{n(n+1)(n+\frac12)}{n^3}=\dfrac83\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)\left(1+\dfrac1{2n}\right)=\dfrac83\cdot1=\dfrac83\end{aligned}$

[2]

분자에 $\displaystyle L \left (10^{5} I_{0} \right )$를 더하고 빼어서 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{h\to0}\dfrac{L(10^5I_0+h)-L(10^5I_0-h)}h\\&=\lim_{h\to0}\dfrac{L(10^5I_0+h)-L(10^5I_0)+L(10^5I_0)-L(10^5I_0-h)}h\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\lim_{h\to0}\dfrac{L(10^5I_0+h)-L(10^5I_0)}h+\lim_{h\to0}\dfrac{L(10^5I_0-h)-L(10^5I_0)}{-h}\\&=L^{\prime}(10^5I_0)+L^{\prime}(10^5I_0)=2L^{\prime}(10^5I_0)\end{aligned}$

$\displaystyle L(I)=10\log\dfrac I{I_0}$이므로 $\displaystyle L^{\prime}(I)=\dfrac{10}{\ln10}\dfrac{I_0}I\dfrac1{I_0}=\dfrac{10}{\ln10}\left(\dfrac1I\right)$이다.

따라서 찾는 값은 $\displaystyle 2 L^{\prime} \left (10^{5} I_{0} \right )=\frac{20}{ {\ln } 10} \left (\frac{1}{10^{5} I_{0}} \right )$이다. (또는 $\displaystyle 2 L^{\prime} \left (10^{5} I_{0} \right )=\frac{20}{ {\ln } 10} \left (\frac{1}{10^{-7}} \right )=\frac{2 \times 10^{8}}{ {\ln } 10}$)

[3]

(1) 방정식 $\displaystyle x+y+z+w=21$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle x,~ y,~ z,~ w$의 순서쌍 $\displaystyle (x,~ y,~ z,~ w)$의 개수는 $\displaystyle 4$개의 문자 $\displaystyle x,~ y,~ z,~ w$중에서 $\displaystyle 21$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 다음과 같다.

$\displaystyle { }_{4} \mathrm{H}_{21}={ }_{4+21-1} \mathrm{C}_{21}={ }_{24} \mathrm{C}_{21}={ }_{24} \mathrm{C}_{24-21}={ }_{24} \mathrm{C}_{3}=\frac{24 \times 23 \times 22}{3 !}=2024$이다.

(2) $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$와 $\displaystyle z$가 짝수이면 $\displaystyle w$는 홀수이다. $\displaystyle x=2 a,~ y=2 b,~ z=2 c,~ w=2 d+1$이라고 하자. 이를 대입해서 얻은 방정식 $\displaystyle a+b+c+d=10$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle a,~ b,~ c,~ d$의 순서쌍 $\displaystyle (a,~ b,~ c,~ d)$의 개수를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle { }_{4} \mathrm{H}_{10}={ }_{13} \mathrm{C}_{10}={ }_{13} \mathrm{C}_{3}=286$이다. 따라서 찾는 확률은 $\displaystyle \frac{286}{2024}=\frac{143}{1012}=\frac{13}{92}$이다.

(3) $\displaystyle x$가 $\displaystyle 6$의 배수이고 $\displaystyle y$와 $\displaystyle z$가 짝수이면 $\displaystyle w$는 홀수이다. 이 경우의 수를 찾기 위해 $\displaystyle x=6 a,~ y=2 b,~ z=2 c$, $\displaystyle w=2 d+1$이라고 하자. 이를 대입해서 얻은 방정식 $\displaystyle 3 a+b+c+d=10$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle a,~ b,~ c,~ d$의 순서쌍 $\displaystyle (a,~ b,~ c,~ d)$의 개수를 $\displaystyle a$의 값에 따라 찾으면 다음과 같다.

$\displaystyle a=0$인 경우: $\displaystyle b+c+d=10$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle b,~ c,~ d$의 순서쌍 $\displaystyle (b,~ c,~ d)$의 개수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm{H}_{10}={ }_{12} \mathrm{C}_{10}={ }_{12} \mathrm{C}_{2}=66$(개)

$\displaystyle a=1$인 경우: $\displaystyle b+c+d=7$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle b,~ c,~ d$의 순서쌍 $\displaystyle (b,~ c,~ d)$의 개수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm{H}_{7}={ }_{9} \mathrm{C}_{7}={ }_{9} \mathrm{C}_{2}=36$(개)

$\displaystyle a=2$인 경우: $\displaystyle b+c+d=4$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle b,~ c,~ d$의 순서쌍 $\displaystyle (b,~ c,~ d)$의 개수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm{H}_{4}={ }_{6} \mathrm{C}_{4}={ }_{6} \mathrm{C}_{2}=15$(개)

$\displaystyle a=3$인 경우: $\displaystyle b+c+d=1$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $\displaystyle b,~ c,~ d$의 순서쌍 $\displaystyle (b,~ c,~ d)$의 개수는 $\displaystyle { }_{3} \mathrm{H}_{1}={ }_{3} \mathrm{C}_{1}=3$(개)

따라서 조건을 만족시키는 해는 모두 $\displaystyle 66+36+15+3=120$(개)이므로 찾는 확률은 $\displaystyle \frac{120}{2024}=\frac{15}{253}$이다.

(4) $\displaystyle x,~ y,~ z$가 모두 짝수일 사건을 $\displaystyle A,~ x$가 $\displaystyle 3$의 배수일 사건을 $\displaystyle B$라고 하면 구하는 확률은

$\displaystyle \mathrm{P}(B | A)=\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$이다. 이때 $\displaystyle A \cap B$은 $\displaystyle x$가 $\displaystyle 6$의 배수이고 $\displaystyle y$와 $\displaystyle z$가 짝수이며 $\displaystyle w$가 홀수일 사건이다. 그러므로 (2)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{286}{2024}$이고 (3)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(A \cap B)=\frac{120}{2024}$이다.

따라서 찾는 값은 $\displaystyle \mathrm{P}(B | A)=\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\frac{120}{2024}}{\frac{286}{2024}}=\frac{60}{143}$이다.

[4]

(1) $\displaystyle k=1,~2,~3,~ \cdots$일 때, $\displaystyle \vec{a_{k}}+ \vec{b_{k}}= \left ( \left (\frac{1}{2} \right )^{k},~ \left (\frac{1}{2} \right )^{k-1} \right )$이므로,

$\displaystyle \vec{p_{n}}=\sum _{k=1}^{n} \left ( \vec{a_{k}}+ \vec{b_{k}} \right )= \left (1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n},~ 2- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \right )$이다.

따라서 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } \left (1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n} \right )=1$이고 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } \left (2- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \right )=2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$은 점 $\displaystyle \mathrm{P}(1,~2)$에 한없이 가까워진다.

(2) (1)에서 $\displaystyle \mathrm{P}_{n} \left (x_{n},~ y_{n} \right )= \left (1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n},~ 2- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \right )$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$이 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_{n+1}$을 $\displaystyle \alpha : \beta (\alpha >0,~ \beta >0)$로 내분하면 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_{n}$은 $\displaystyle x$축의 구간 $\displaystyle \left [x_{n-1},~ x_{n+1} \right ]$을 $\displaystyle \alpha : \beta$로 내분하므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle x_{n}=\frac{\alpha x_{n+1}+\beta x_{n-1}}{\alpha +\beta },~ ~ \frac{\alpha \left\{1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n+1} \right\}+\beta \left\{1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \right\}}{\alpha +\beta }=1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n}$,

$\displaystyle \alpha -\alpha \left (\frac{1}{2} \right )^{n+1}+\beta -\beta \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}=\alpha -\alpha \left (\frac{1}{2} \right )^{n}+\beta -\beta \left (\frac{1}{2} \right )^{n},~ ~ \alpha \left (\frac{1}{2} \right )^{n} \left (-\frac{1}{2}+1 \right )=\beta \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \left (1-\frac{1}{2} \right )$

따라서 $\displaystyle \left (\frac{1}{2} \right )^{n+1} \alpha = \left (\frac{1}{2} \right )^{n} \beta$이므로 찾는 값은 $\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=2$이다.

(3) $\displaystyle \vec{\mathrm{OQ}}=(x,~ y)$라고 하면 $\displaystyle \vec{\mathrm{QA}}+ \vec{\mathrm{QP}}=(1-x,~-y)+(1-x,~ 2-y)=(2-2 x,~ 2-2 y)$이다.

이에 따라 $\displaystyle | \vec{\mathrm{QA}}+ \vec{\mathrm{QP}}|=\sqrt {(2-2 x)^{2}+(2-2 y)^{2}}=1$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle (2-2 x)^{2}+(2-2 y)^{2}=1,~ ~(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{1}{4}$

따라서 조건을 만족시키는 도형은 중심이 $\displaystyle (1,~1)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로, 찾는 방정식은 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{1}{4}$이다.

(4) 점 $\displaystyle \mathrm{R}_{n}$의 좌표는 $\displaystyle \left (1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n},~-1+ \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \right )$

이므로 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 두 점 $\displaystyle \mathrm{R}_{n}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{n+1}$사이의 거리가 가까워지므로 오른쪽 그림과 같이 두 위치벡터 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{n}}$와 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{n+1}}$이 이루는 예각 중에서 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{1}}$과 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{2}}$가 이루는 예각이 가장 크다. $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{1}}= \left (\frac{1}{2},~ 0 \right )$이고 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{2}}= \left (\frac{3}{4},~-\frac{1}{2} \right )$이므로 $\displaystyle {\cos } \theta _{n}$의 최솟값은 다음과 같다.

$\displaystyle \cos\theta_1=\dfrac{\overrightarrow{OR_1}\cdot\overrightarrow{OR_2}}{|\overrightarrow{OR_1}|\,|\overrightarrow{OR_2}|}=\dfrac{\dfrac12\times\dfrac34+0\times\left(-\dfrac12\right)}{\sqrt{(\frac12)^2+0^2}\sqrt{(\frac34)^2+(-\frac12)^2}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$

[참고]

$\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{1}}$과 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{2}}$가 이루는 예각의 크기가 가장 크다는 사실의 증명:

$\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{n}}$과 $\displaystyle x$축이 이루는 예각의 크기를 $\displaystyle \phi_{n}$이라하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \tan \phi_{n}=\frac{1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}}{1- \left (\frac{1}{2} \right )^{n}}=\frac{2^{n}-2}{2^{n}-1}=1-\frac{1}{2^{n}-1}$( $\displaystyle n$이 커짐에 따라 $\displaystyle \tan \phi_{n}$도 증가)

그러면 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{n}}$과 $\displaystyle \vec{\mathrm{OR}_{n+1}}$이 이루는 예각의 크기 $\displaystyle \theta _{n}$의 탄젠트 값은 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}\tan\theta_n&=\tan(\phi_{n+1}-\phi_n)\\&=\dfrac{\tan\phi_{n+1}-\tan\phi_n}{1+\tan\phi_{n+1}\cdot\tan\phi_n}\\&=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}-\dfrac{2^n-2}{2^n-1}}{1+\dfrac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}\cdot\dfrac{2^n-2}{2^n-1}}\end{aligned}$ ($\displaystyle 2^n=t$라 하자.)$\displaystyle \begin{aligned}&=\dfrac{\dfrac{2t-2}{2t-1}-\dfrac{t-2}{t-1}}{1+\dfrac{2t-2}{2t-1}\cdot\dfrac{t-2}{t-1}}=\dfrac{(2t-2)(t-1)-(t-2)(2t-1)}{(2t-1)(t-1)+(2t-2)(t-2)}\\&=\dfrac{(2t^2-4t+2)-(2t^2-5t+2)}{(2t^2-3t+1)+(2t^2-6t+4)}=\dfrac{t}{4t^2-9t+5}=\dfrac1{4t+\dfrac5t-9}\end{aligned}$

$\displaystyle h(t)=4 t+\frac{5}{t}-9 ~(t \ge 2)$라 하면, $\displaystyle t \ge 2$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(t)=4-\frac{5}{t^{2}}>0$이므로 $\displaystyle h(t)$는 증가함수이다.

따라서 $\displaystyle \tan \theta _{n}$은 감소함수이므로, $\displaystyle \tan \theta _{1}$이 최대이고 이에 따라 $\displaystyle \theta _{1}$이 최대이다.