자연계열 1번

[1]

(1) 이차방정식 $\displaystyle x^{2}+b x+c=0$의 실근이 있기 위한 필요충분 조건은 $\displaystyle b^{2}-4 c \ge 0$이므로 $\displaystyle c \le \frac{b^{2}}{4}$이다.

조건 (i)에서 $\displaystyle 0 \le b \le 2$이고 $\displaystyle 0 \le c \le 2$이므로 $\displaystyle 0 \le c \le \frac{b^{2}}{4}$이다 .

따라서 문제의 조건을 모두 만족시키는 영역은 오른쪽 그림과 같이 포물선 $\displaystyle y=\dfrac{x^2}4$과 $\displaystyle x$축 및 직선 $\displaystyle x=2$로 둘러싸인 영역이다.

이를 “ $\displaystyle 0 \le x \le 2,~0 \le y \le \frac{x^{2}}{4}$” 또는 $\displaystyle \left\{(x,~ y) | 0 \le x \le 2,~0 \le y \le \frac{x^{2}}{4} \right\}$과 같이 나타낼 수도 있다.

(2) (1)의 영역의 넓이는 $\displaystyle S=\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x= \Biggl[\frac{x^{3}}{12} \Biggr]_{0}^{2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{A}(2,~0)$를 지나는 직선이 포물선 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{4}$과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a$라 하면 이 직선이 나눈 $\displaystyle (1)$의 영역의 왼쪽 부분의 넓이는 $\displaystyle S_{1}=\int_{0}^{a} \frac{x^{2}}{4} d x+\frac{1}{2} \times (2-a) \times \frac{a^{2}}{4}=\frac{a^{3}}{12}+\frac{1}{8} a^{2}(2-a)$이다.

이 직선이 (1)의 영역의 넓이를 $\displaystyle 5:11$로 나누므로 $\displaystyle S_1=\dfrac5{16}S$에서 다음을 얻는다.

$\displaystyle \dfrac{a^3}{12}+\dfrac18a^2(2-a)=\dfrac5{16}\times\dfrac23=\dfrac5{24},~-\dfrac{a^3}{24}+\dfrac{a^2}4-\dfrac5{24}=0,~a^3-6a^2+5=(a-1)(a^2-5a-5)=0$

$\displaystyle a$의 값이 될 수 있는 1 또는 $\displaystyle \dfrac{5\pm3\sqrt5}2$ 중에서, 조건 $\displaystyle 0\le a\le2$를 만족시키는 $\displaystyle a$의 값은 1뿐이다.

따라서 직선과 포물선의 교점은 $\displaystyle \left(1,\dfrac14\right)$이므로, 찾는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\dfrac14x+\dfrac12$이다.

[2]

(1) 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 $\displaystyle y$축에 대칭이동한 식은 $\displaystyle y=f(-x)$이다. 이것을 다시 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle \pi$만큼 평행이동한 식은 $\displaystyle y=f(-(x-\pi ))=f(\pi -x)$이다.

따라서 $\displaystyle g(x)=f(\pi -x)$이다. 여기서 $\displaystyle \pi -x=t$로 치환하면 $\displaystyle \frac{d t}{d x}=-1$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \int_{0}^{\pi } g(x) d x=\int_{0}^{\pi } f(\pi -x) d x=-\int_{\pi }^{0} f(t) d t=\int_{0}^{\pi } f(t) d t=\int_{0}^{\pi } f(x) d x$

(2) 정적분 $\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{ {\sin } x}{1+ {\cos } ^{2} x} d x$에서 $\displaystyle {\cos } x=t$로 치환하면 $\displaystyle \frac{d t}{d x}=- {\sin } x$이고 적분의 아래끝은 $\displaystyle 1$이며 위끝은 $\displaystyle -1$로 바뀌므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{ {\sin } x}{1+ {\cos } ^{2} x} d x=-\int_{1}^{-1} \frac{1}{1+t^{2}} d t=\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} d t=2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} d t$

이제 $\displaystyle t= \tan \theta ~ \left (0 \le \theta \le \frac{\pi }{4} \right )$로 치환하면 $\displaystyle \frac{d t}{d \theta }= \sec ^{2} \theta$이고 적분의 아래끝은 $\displaystyle 0$이며 위끝은 $\displaystyle \frac{\pi }{4}$로 바뀌므로 $\displaystyle 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} d t=2 \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \frac{ \sec ^{2} \theta }{ \sec ^{2} \theta } d \theta =2 \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} d \theta =\frac{\pi }{2}$이다.

따라서 $\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{ {\sin } x}{1+ {\cos } ^{2} x} d x=\frac{\pi }{2}$이다.

(3) 삼각함수의 성질에서 $\displaystyle {\sin } x= {\sin } (\pi -x)$이고 $\displaystyle {\cos } x=- {\cos } (\pi -x)$이므로 (1)의 결과를 이용하면 주어진 식은 다음과 같다.

$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi } \frac{x {\sin } x}{1+ {\cos } ^{2} x} d x=\int_{0}^{\pi } \frac{(\pi -x) {\sin } (\pi -x)}{1+ {\cos } ^{2}(\pi -x)} d x=\int_{0}^{\pi } \frac{(\pi -x) {\sin } x}{1+ {\cos } ^{2} x} d x=\pi \int_{0}^{\pi } \frac{ {\sin } x}{1+ {\cos } ^{2} x} d x-I$

따라서 (2)의 결과에 의해 찾는 적분값은 $\displaystyle I=\frac{\pi }{2} \int_{0}^{\pi } \frac{ {\sin } x}{1+ {\cos } ^{2} x} d x=\frac{\pi }{2} \times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi ^{2}}{4}$이다.

[3]

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$의 $\displaystyle y$좌표는 첫째항이 $\displaystyle 1$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열이므로 $\displaystyle b_{n}= \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}$이고

점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n} b_{k}=\sum _{k=1}^{n} \left (\frac{1}{2} \right )^{k-1}=2- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}$의 좌표는 $\displaystyle \left (2- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1},~ \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \right )$이다.

따라서 $\displaystyle \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2- \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}}{ \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1}}=2^{n}-1$이고 모든 자연수 $\displaystyle n$에서 $\displaystyle 2^{n}$은 짝수이므로 $\displaystyle \frac{a_{n}}{b_{n}}=2^{n}-1$은 홀수이다.

(2) $\displaystyle n$번째 정사각형의 넓이는 $\displaystyle S_{n}=b_{n}^{2}= \left ( \left (\frac{1}{2} \right )^{n-1} \right )^{2}= \left (\frac{1}{4} \right )^{n-1}$이므로

$\displaystyle \sum_{k=n+1}^\infty S_k=\sum_{k=n+1}^\infty\left(\dfrac14\right)^{k-1}=\dfrac{\left(\dfrac14\right)^n}{1-\dfrac14}=\dfrac43\left(\dfrac14\right)^n$이다.

따라서 $\displaystyle \dfrac{\sum_{k=n+1}^\infty S_k}{S_n}=\dfrac{\dfrac43\left(\dfrac14\right)^n}{\left(\dfrac14\right)^{n-1}}=\dfrac13$이다.

(3) 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$과 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}(n \ge 2)$을 지나는 직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \theta _{n}$이라고 하면 $\displaystyle \tan \theta _{n}=\frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{2^{n}-1}$이다.

직선 $\displaystyle y=d_nx$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \phi_n$이라고 하면 $\displaystyle \tan\phi_n=d_n$ ($\displaystyle d_n>0$)이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle d_n=\tan\phi_n=\tan(45^\circ+\theta_n)=\dfrac{\tan45^\circ+\tan\theta_n}{1-\tan45^\circ\cdot\tan\theta_n}=\dfrac{1+\dfrac1{2^n-1}}{1-\dfrac1{2^n-1}}=\dfrac{2^n}{2^n-2}=\dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1}-1}$

[4]

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 1+n^{2}+n^{4}= \left (1+n^{2} \right )^{2}-n^{2}= \left (1-n+n^{2} \right ) \left (1+n+n^{2} \right )$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac{2 n}{1+n^{2}+n^{4}}=\frac{1}{1-n+n^{2}}-\frac{1}{1+n+n^{2}}=\frac{1}{1+(n-1) n}-\frac{1}{1+n(n+1)}$

그러므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}&\dfrac4{1+2^2+2^4}+\dfrac6{1+3^2+3^4}+\dfrac8{1+4^2+4^4}+\cdots+\dfrac{20}{1+10^2+10^4}\\&\quad=\left(\dfrac1{1+1\times2}-\dfrac1{1+2\times3}\right)+\left(\dfrac1{1+2\times3}-\dfrac1{1+3\times4}\right)+\left(\dfrac1{1+3\times4}-\dfrac1{1+4\times5}\right)+\cdots+\left(\dfrac1{1+9\times10}-\dfrac1{1+10\times11}\right)\\&\quad=\dfrac1{1+1\times2}-\dfrac1{1+10\times11}\\&\quad=\dfrac13-\dfrac1{111}=\dfrac{37-1}{111}=\dfrac{36}{111}=\dfrac{12}{37}\end{aligned}$