자연계열 1번

[1]

(1) 주어진 수열은 등차수열이므로 $\displaystyle a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+a_{n}=92+245=337$이고 다음을 얻는다.$\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}=\frac{n \left (a_{1}+a_{n} \right )}{2}=2022,~ ~ n \times 337=4044,~ ~ n=12$

따라서 찾는 항의 개수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 12$이다.

(2) $\displaystyle a_2=92$이고 $\displaystyle a_{n-1}=a_{11}=245$이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle a_2+9d=a_{11},~92+9d=245,~9d=153,~d=17$

따라서 찾는 공차 $\displaystyle d$는 17이다.

[2]

(1) 최고차항의 계수가 $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle |f(x)|$의 값이 서로 다른 네 점에서 같은 값을 가지려면 $\displaystyle y=|f(x)|$의 그래프는 그림 $\displaystyle \mathrm{B}$와 같을 수 없고 그림 $\displaystyle \mathrm{A}$와 같은 경우뿐이다.

$\displaystyle |f(x)|= \left |a(x-c)^{2}+d \right |$으로부터 축 $\displaystyle x=c$에서 거리가 같으면 함숫값이 같다. 그러므로 $\displaystyle |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=|f(4)|=10$

이기 위해서는 $\displaystyle c=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$이다.

곧, $\displaystyle f(x)=a \left (x-\frac{5}{2} \right )^{2}+d$이다.

이차방정식 $\displaystyle f(x)=k$의 근은 최대 $\displaystyle 2$개 이므로 그림 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 $\displaystyle f(1)=f(4)=10$이고 $\displaystyle f(2)=f(3)=-10$이다.

곧 $\displaystyle f(1)=f(4)=\frac{9}{4} a+d=10$이고 $\displaystyle f(2)=f(3)=\frac{1}{4} a+d=-10$이다.

$\displaystyle \begin{cases}9a+4d=40\\a+4d=-40\end{cases}$으로부터 $\displaystyle a=10$이고 $\displaystyle d=-\dfrac{25}2$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=10 \left (x-\frac{5}{2} \right )^{2}-\frac{25}{2}$이므로 찾는 값은 $\displaystyle a=10,~ c=\frac{5}{2},~ d=-\frac{25}{2}$이다.

(2) (1)의 결과와 오른쪽 그림에서

① 근이 없음 : $\displaystyle k<0$이면 근이 없다.

② 근의 개수가 $\displaystyle 2$개 : $\displaystyle k>\frac{25}{2}$또는 $\displaystyle k=0$이면 근이 $\displaystyle 2$개

③ 근의 개수가 $\displaystyle 3$개 : $\displaystyle k=\frac{25}{2}$이면 근이 $\displaystyle 3$개

④ 근의 개수가 $\displaystyle 4$개 : $\displaystyle 0<k<\frac{25}{2}$이면 근이 $\displaystyle 4$개

[3]

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left (a,~ 2 a^{3}-8 a \right )$, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left (-a,~-2 a^{3}+8 a \right )$, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \left (a,~-2 a^{3}+8 a \right )$, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left (-a,~ 2 a^{3}-8 a \right )$이므로 $\displaystyle \overline{AB}=4 a^{3}-16 a$이고 $\displaystyle \overline{BC}=-2 a$이다. 따라서 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 둘레의 길이는 다음과 같다.

$\displaystyle 2(\overline{AB}+\overline{BC})=2 \left (4 a^{3}-16 a-2 a \right )=8 a^{3}-36 a$

(2) 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 둘레의 길이를 $\displaystyle f(a)=8 a^{3}-36 a$라 하자.

$\displaystyle f^{\prime}(a)=24a^2-36=12(2a^2-3)$이고 $\displaystyle a$의 범위가 $\displaystyle -2<a<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$의 근은 $\displaystyle a=-\dfrac{\sqrt6}2$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle -2<a<0$에서 함수 $\displaystyle f(a)$의 최댓값은 $\displaystyle 12 \sqrt {6}$이고 이때 $\displaystyle a=-\frac{\sqrt {6}}{2}$이다.

[4]

(1) $\displaystyle {\sin } \left (\frac{3}{4} \pi \right )=\frac{\sqrt {2}}{2}$이고 $\displaystyle {\sin } \left (\frac{5}{4} \pi \right )=-\frac{\sqrt {2}}{2}$이며 구간 $\displaystyle \left (\frac{3}{4} \pi ,~ \frac{5}{4} \pi \right )$에서 $\displaystyle {\sin } x$는 감소하는 연속함수이므로 $\displaystyle -\frac{\sqrt {2}}{2}< {\sin } x<\frac{\sqrt {2}}{2}$이다.

(2) $\displaystyle f(x)= {\sin } x+ \sec 2 x=1$의 양변에 $\displaystyle {\cos } 2 x$를 곱하면 $\displaystyle {\sin } x {\cos } 2 x+1= {\cos } 2 x$이다. $\displaystyle {\cos } 2 x=1-2 {\sin } ^{2} x$를 대입하면 $\displaystyle {\sin } x \left (1-2 {\sin } ^{2} x \right )+1= \left (1-2 {\sin } ^{2} x \right )$이다.

정리하면 $\displaystyle {\sin } x \left (2 {\sin } ^{2} x-2 {\sin } x-1 \right )=0$이다.

$\displaystyle {\sin } x=t$라 하면 $\displaystyle t \left (2 t^{2}-2 t-1 \right )=0$이므로, $\displaystyle t=0$또는 $\displaystyle t=\frac{1\pm \sqrt {3}}{2}$이다.

구간 $\displaystyle \left (\frac{3}{4} \pi ,~ \frac{5}{4} \pi \right )$에서 $\displaystyle {\sin } x$는 감소하는 연속함수이고 ①에서 $\displaystyle -\frac{\sqrt {2}}{2}<t<\frac{\sqrt {2}}{2}$이므로

$\displaystyle t=0$인 경우에 $\displaystyle -\frac{\sqrt {2}}{2}<0<\frac{\sqrt {2}}{2}$이므로 $\displaystyle {\sin } x=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$가 구간 $\displaystyle \left (\frac{3}{4} \pi ,~ \frac{5}{4} \pi \right )$에 하나 있다.

$\displaystyle t=\frac{1+\sqrt {3}}{2}$인 경우에 $\displaystyle \frac{1+\sqrt {3}}{2}>1$이므로 $\displaystyle {\sin } x=\frac{1+\sqrt {3}}{2}$을 만족시키는 $\displaystyle x$는 없다.

$\displaystyle t=\frac{1-\sqrt {3}}{2}$인 경우에 $\displaystyle \frac{1-\sqrt {3}}{2}- \left (-\frac{\sqrt {2}}{2} \right )=\frac{1+\sqrt {2}-\sqrt {3}}{2}>0$이므로 $\displaystyle -\frac{\sqrt {2}}{2}<\frac{1-\sqrt {3}}{2}<0$이다.

그러므로 $\displaystyle {\sin } x=\frac{1-\sqrt {3}}{2}$을 만족시키는 $\displaystyle x$가 구간 $\displaystyle \left (\frac{3}{4} \pi ,~ \frac{5}{4} \pi \right )$에 하나 있다. 따라서 구간 $\displaystyle \left (\frac{3}{4} \pi ,~ \frac{5}{4} \pi \right )$에 있는 $\displaystyle f(x)=1$의 근의 개수는 $\displaystyle 2$개이다.

(3) 구간 $\displaystyle \left (\frac{3}{4} \pi ,~ \frac{5}{4} \pi \right )$에서 $\displaystyle {\sin } x$는 감소하므로 (2)로부터 $\displaystyle \alpha =\pi$이고 $\displaystyle {\sin } \beta =\frac{1-\sqrt {3}}{2}$이다. $\displaystyle TRI\angle \mathrm{ABC}$는 $\displaystyle \angle \mathrm{A}=\alpha -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$인 직각삼각형이다. 사인법칙을 사용하면 $\displaystyle 2 R=\frac{\sqrt {6}}{ {\sin } C}$이고 $\displaystyle {\cos } \beta <0$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle 2 R=\frac{\sqrt {6}}{ {\sin } \left (\frac{3}{2} \pi -\beta \right )}=\frac{\sqrt {6}}{- {\cos } \beta }=\frac{\sqrt {6}}{\sqrt {1- {\sin } ^{2} \beta }}=\frac{\sqrt {6}}{\sqrt {1-\frac{4-2 \sqrt {3}}{4}}}=\sqrt {6} \frac{\sqrt {2}}{\sqrt[4]{3}}=2 \sqrt[4]{3}$

따라서 $\displaystyle R=\sqrt[4]{3}$이다.