자연계열 2번

[1]

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left (x_{1},~ y_{1} \right )$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_{1} x}{a}+y_{1} y=1$이므로 $\displaystyle \mathrm{A} \left (\frac{a}{x_{1}},~ 0 \right )$이고 $\displaystyle \mathrm{B} \left (0,~ \frac{1}{y_{1}} \right )$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$가 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}$이고

이에 따라 $\displaystyle y_{1}=\frac{x_{1}}{a}$이다.

접점 $\displaystyle \mathrm{P} \left (x_{1},~ \frac{x_{1}}{a} \right )$는 타원의 점이므로 $\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{a}+y_{1}^{2}=\frac{x_{1}^{2}}{a}+ \left (\frac{x_{1}}{a} \right )^{2}=\frac{a+1}{a^{2}} x_{1}^{2}=1$이고

제 $\displaystyle 1$사분면에 있으므로 $\displaystyle x_{1}=\frac{a}{\sqrt {a+1}}$이고 $\displaystyle y_{1}=\frac{x_{1}}{a}=\frac{1}{\sqrt {a+1}}$이다.

따라서 접점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{a}{\sqrt {a+1}},~ \frac{1}{\sqrt {a+1}} \right )$이다.

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAP}$의 넓이는 $\displaystyle S_{1}=\frac{1}{2} \times \overline{OA} \times \frac{1}{\sqrt {a+1}}$이고

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBP}$의 넓이는 $\displaystyle S_{2}=\frac{1}{2} \times \overline{OB} \times \frac{a}{\sqrt {a+1}}$이다.

$\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}$이고 $\displaystyle S_{1}=2 \times S_{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt {a+1}}=2 \times \frac{a}{\sqrt {a+1}}$이고, $\displaystyle a=\frac{1}{2}$이다.

따라서 타원의 방정식은 $\displaystyle 2 x^{2}+y^{2}=1$이다.

(3) 타원의 두 초점을 F$\displaystyle (0,c)$와 F′$\displaystyle (0,-c)$라고 하면

$\displaystyle c^2=1-a=\dfrac12$이므로 F$\displaystyle \left(0,\dfrac{\sqrt2}2\right)$와 F′$\displaystyle \left(0,-\dfrac{\sqrt2}2\right)$이다.

타원의 점 Q에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{FQ}\cdot\overrightarrow{F^{\prime}Q}=0$이므로

$\displaystyle \angle FQF^{\prime}=90^\circ$이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 타원의 두 초점을 지름의 양 끝점으로 하는 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}$과 타원의 교점이 된다.

타원의 식과 원의 식을 연립하여 풀면 찾는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{\sqrt {2}}{2},~ 0 \right )$과 $\displaystyle \left (-\frac{\sqrt {2}}{2},~ 0 \right )$이다.

[2]

(1) $\displaystyle A$에서 $\displaystyle B$까지 가는 경우의 수는 오른쪽과 같은 $\displaystyle 5$개의 지점 $\displaystyle P,~ Q,~ R,~ S,~ T$을 통과하는 경우의 수의 합과 같다.

- $\displaystyle R$지점 : $\displaystyle 1 \times 1=1$,

- $\displaystyle P$지점 : $\displaystyle { }_{5} \mathrm{C}_{1} \times { }_{5} \mathrm{C}_{4}=\frac{5 !}{1 ! \times 4 !} \times \frac{5 !}{4 ! \times 1 !}=25$,

- $\displaystyle Q$지점: $\displaystyle { }_{5} \mathrm{C}_{2} \times { }_{4} \mathrm{C}_{3}=\frac{5 !}{2 ! \times 3 !} \times \frac{4 !}{3 ! \times 1 !}=40$,

- $\displaystyle S$지점 : $\displaystyle { }_{5} \mathrm{C}_{4} \times { }_{5} \mathrm{C}_{1}=\frac{5 !}{4 ! \times 1 !} \times \frac{5 !}{1 ! \times 4 !}=25$,

- $\displaystyle T$지점 : $\displaystyle 1 \times 1=1$

따라서 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle B$까지 가는 경우의 수는 $\displaystyle 1+25+40+25+1=92$이다.

(2) 두 사람이 자신의 출발지에서 목적지까지 가는 모든 경우의 수는 각 사람이 한 방향으로 가는 경로의 수의 곱과 같으므로 $\displaystyle 92 \times 92=8464$이다.

또한 두 사람은 서로 반대방향에서 동시에 출발하여 같은 속력으로 이동하므로, 서로 같은 거리에 있는 $\displaystyle P,~ Q,~ R,~ S,~ T$지점에서만 만날 수 있다.

두 사람이 어느 한 지점에서만나는 경우의 수는 수철이가 해당 지점을 지나서 목적지까지 가는 경우의 수에 대하여 연수가 같은 지점을 지나서 목적지까지 가는 경우의 수를 곱한 것과 같으므로 다음과 같다.

- $\displaystyle P$지점에서만나는 경우의 수: $\displaystyle \left ({ }_{5} \mathrm{C}_{1} \times { }_{5} \mathrm{C}_{4} \right ) \times \left ({ }_{5} \mathrm{C}_{4} \times { }_{5} \mathrm{C}_{1} \right )=25 \times 25=625$

- $\displaystyle Q$지점에서만나는 경우의 수: $\displaystyle \left ({ }_{5} \mathrm{C}_{2} \times { }_{4} \mathrm{C}_{3} \right ) \times \left ({ }_{4} \mathrm{C}_{3} \times { }_{5} \mathrm{C}_{2} \right )=40 \times 40=1600$

따라서 두 사람이 각 지점에서만나고 목적지까지 가는 확률은 다음과 같다.

- $\displaystyle P$지점에서만나는 확률 : $\displaystyle \frac{625}{92 \times 92}=\frac{625}{8464}$

- $\displaystyle Q$지점에서만나는 확률: $\displaystyle \frac{1600}{92 \times 92}=\frac{1600}{8464}=\frac{100}{529}$

[3]

(1) $\displaystyle g(n)=a n^{2}+b n$이라고 하면 다음의 식을 얻는다.

$\displaystyle \begin{cases}a_1=(a+b)\times1!=2\quad\to a+b=2\\a_2=(4a+2b)\times2!=12\quad\to2a+b=3\end{cases}$ 또는 $\displaystyle \begin{cases}a_2=(4a+2b)\times2!=12\quad\to2a+b=3\\a_3=(9a+3b)\times3!=72\quad\to9a+3b=12\end{cases}$

두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle a=1,~ b=1$이고, 따라서 $\displaystyle g(n)=n^{2}+n$이다.

(2) 모든 자연수 $\displaystyle n$에서 다음이 성립함을 밝히자.

$\displaystyle a_n=(n^2+n)\times n!$ ……①

$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle a_1=(1^2+1)\times1!=2$이므로 ①이 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때, 식 ①이 성립한다고 하자. 곧 $\displaystyle a_{k}= \left (k^{2}+k \right ) \times k!$이라고 하자.

그러면 $\displaystyle n=k+1$일 때 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}a_{k+1}&=a_k+(k^2+2k+2)\times(k+1)!\\&=(k^2+k)\times k!+(k^2+2k+2)\times(k+1)!\\&=k\times(k+1)!+(k^2+2k+2)\times(k+1)!\\&=(k^2+3k+2)\times(k+1)!\\&=\{(k+1)^2+(k+1)\}\times(k+1)!\end{aligned}$

그러므로 식 ①은 $\displaystyle n=k+1$일 때 성립한다.

따라서 식 ①은 모든 자연수 $\displaystyle n$에서 성립한다.

[4]

(1) 귀류법으로 증명하기 위하여 $\displaystyle \overline{AC} \ne 2$라고 가정한다.

(i) $\displaystyle \overline{AC}>2$라고 하자.

그러면 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 세 변 중에서 $\displaystyle \overline{AC}$의 길이가 가장 길기 때문에 세 내각 중에서 $\displaystyle \angle \mathrm{ABC}$의 크기가 가장 크다. 이에 따라 $\displaystyle \angle \mathrm{BAC}<60^{\circ }$이다.

그리고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$에서 $\displaystyle \overline{AC}>\overline{CD}$이므로, $\displaystyle \angle \mathrm{CAD}<75^{\circ }$이다.

그러면 $\displaystyle \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}<135^{\circ }$이므로, 주어진 조건에 모순된다.

(ii) $\displaystyle \overline{AC}<2$라고 하자.

그러면 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 세 변 중에서 $\displaystyle \overline{AC}$의 길이가 가장 짧기 때문에 세 내각 중에서 $\displaystyle \angle \mathrm{ABC}$의 크기가 가장 작다. 이에 따라 $\displaystyle \angle \mathrm{BAC}>60^{\circ }$이다.

그리고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$에서 $\displaystyle \overline{AC}<\overline{CD}$이므로, $\displaystyle \angle \mathrm{CAD}>75^{\circ }$이다.

그러면 $\displaystyle \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}>135^{\circ }$이므로, 주어진 조건에 모순된다.

따라서 (i)과 (ii)에 의해 $\displaystyle \overline{AC}=2$이다.

(2) (1)의 결과에 의하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$는 $\displaystyle \overline{AC}=\overline{CD}=2$인 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle \mathrm{CDA}=\angle \mathrm{CAD}=75^{\circ }$이다. 따라서 삼각함수의 덧셈정리에 따라 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{AD}&=2\times2\cos75^\circ=4\cos(45^\circ+30^\circ)=4\cos45^\circ\cos30^\circ-4\sin45^\circ\sin30^\circ\\&=4\times\dfrac{\sqrt2}2\times\dfrac{\sqrt3}2-4\times\dfrac{\sqrt2}2\times\dfrac12=\sqrt6-\sqrt2\end{aligned}$