자연계열 1번

[1-1]돔은 구와 한 평면으로 둘러싸인 입체도형이므로 돔의 평면 부분의 둘레는 원이 된다.하나의 공에서 겹치지 않는 $\displaystyle 2$개의 돔을 생각할 때, 크기가 같은 경우는 공의 중심에서 $\displaystyle 2$개의 돔을 결정하는 두 평면사이의 거리가 같은 경우이다. 돔의 크기가 최대가 되도록 자르는 경우 두 돔의 평면부분이 서로 접하게 된다.그러므로 크기가 같은 $\displaystyle 3$개 이상의 돔을 잘라낼 때, 잘라낸 돔의 크기가 최대가 되려면 이웃하는 돔의 평면부분이 서로 접해야 한다.크기가 같은 $\displaystyle 3$개의 돔을 잘라서 남은 부분의 부피가 최소가 되어야 하므로 다음과 같이 생각할 수 있다.공의 중심을 좌표공간의 원점에 두고 평면 $\displaystyle x=1, x=-1, y=1, y=-1, z=1, z=-1$에 평행한 평면으로 자른다고 할 때, 남은 부분의 부피가 최소가 되는 경우는 임의의 하나의 돔의 평면부분이 이웃하는 $\displaystyle 4$개의 돔의 평면부분과 서로 접할 경우의 6개의 돔을 잘라내고 남은 입체도형이 구하고자 하는 입체도형 A이다. 그림으로 나타내면 다음과 같다.

공의 중심을 좌표공간의 원점에 두고 평면 $\displaystyle x=1, x=-1, y=1, y=-1, z=1, z=-1$에 평행한 평면으로 자른다고 할 때, 돔들이 처음으로 서로 접하는 경우를 생각한다. $\displaystyle xy$평면에 놓인 접점들은 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정사각형이므로평면 $\displaystyle x=\frac{\sqrt2}2,\ x=-\frac{\sqrt2}2,\ y=\frac{\sqrt2}2,\ y=-\frac{\sqrt2}2,\ z=\frac{\sqrt2}2,\ z=-\frac{\sqrt2}2$에 의해 생기는 돔을 잘라낼 때 남은 부분의 부피가 최소가 된다.남은 부분의 부피를 구하기 위해 돔 하나의 부피를 구한다.$\displaystyle x=\frac{\sqrt2}2$에 의해 생기는 돔 중 부피가 작은 돔은 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2\le x\le1$에서 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$인 원판으로 이루어진 입체도형이므로 제시문 (가)에 의하여잘라낸 돔 하나의 부피는 $\displaystyle \pi\int_{\frac{\sqrt2}2}^1(1-x^2)dx=\frac{8-5\sqrt2}{12}\pi$이다.반지름의 길이가 1인 공은 $\displaystyle -1\le x\le1$에서 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 반지름의 길이 $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$인 원판으로 이루어진 입체도형이므로 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle \pi\int_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac43\pi$이다.따라서 돔의 크기가 최대가 되도록 잘라내고 남은 입체도형 A의 부피는(공의 부피)$\displaystyle -6\times$(돔 하나의 부피)$\displaystyle =\frac{15\sqrt2-16}6\pi$이다.

[1-2][1-1] 에서 구한 입체도형 A는 반지름의 길이 $\displaystyle r_1=\frac{\sqrt2}2$인 원판 $\displaystyle 6$개와 서로 모양이 같은 구의 일부분 8개로 둘러싸여 있다.크기가 가장 큰 돔을 제외하기 위해서는 입체도형 A에서 구의 일부 중 인접한 세 원들과 모두 접하는 평면으로 잘라내는 것이다.

공의 중심인 원점에서 평면 $\displaystyle x+y+z-\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{2\sqrt3+\sqrt6}6$이다. 마지막으로 잘라낸 돔의 평면부분의 원의 반지름의 길이를 $\displaystyle r_2$라 하면 피타고라스의 정리에 의하여$\displaystyle r_2^2=\frac{3-2\sqrt2}6$이므로마지막으로 잘라낸 평면부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{3-2\sqrt2}6\pi$이다.