자연계열 2번

[2-1]포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위의 한 점을 A$\displaystyle (x,y)$라 하고, $\displaystyle x$축 위의 한 점을 B$\displaystyle (t,0)$이라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{\{x-(t-2p)\}^2+4p(t-p)}$이다.

$\displaystyle t-2p\ge0$인 경우, $\displaystyle f(t)=2\sqrt{p(t-p)}$이다.$\displaystyle t - 2 p < 0$인 경우, $\displaystyle f ( t ) = \sqrt{t^{2}} = | t |$이다.그러므로 함수 $\displaystyle f(t)$는$\displaystyle f(t)=\begin{cases}2\sqrt{p(t-p)}&(t\ge2p)\\t&(0\le t<2p)\\-t&(t<0)\end{cases}$이다.

함수 $\displaystyle f ( t )$는 정의된 각 구간에서 미분가능하므로 $\displaystyle t = 0$과 $\displaystyle t = 2 p$에서 미분가능성을 확인하면 된다.제시문 (가), (나)에 의하여( i ) $\displaystyle \lim_{t \to 0 -} \frac{{f ( t ) - f ( 0 )}}{t - 0} = \lim_{t \to 0 -} \frac{{- t - 0}}{t - 0} = - 1 , \lim_{t \to 0 +} \frac{{f ( t ) - f ( 0 )}}{t - 0} = \lim_{t \to 0 +} \frac{{t - 0}}{t - 0} = 1$따라서 $\displaystyle t = 0$에서 미분가능하지 않다.(ii) $\displaystyle \lim_{t\to2p-}\frac{f(t)-f(2p)}{t-2p}=\lim_{t\to2p-}\frac{t-2p}{t-2p}=1$$\displaystyle \lim_{t\to2p+}\frac{f(t)-f(2p)}{t-2p}=\lim_{t\to2p+}\frac{2\sqrt{p(t-p)}-2p}{t-2p}=\lim_{t\to2p+}\frac{2p}{\sqrt{p(t-p)}+p}=1$따라서 $\displaystyle t = 2 p$에서 미분가능하다.그러므로 함수 $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle t = 0$을 제외한 모든 실수에서 미분가능하다.

[2-2]$\displaystyle G ( p ) = \int_{0}^{5 p} t f ( t ) d t = \int_{0}^{2 p} t f ( t ) d t + \int_{2 p}^{5 p} t f ( t ) d t = \int_{0}^{2 p} t^{2} d t + \int_{2 p}^{5 p} t \times 2 \sqrt{p ( t - p )} d t$따라서$\displaystyle G ( 1 ) = \int_{0}^{2} t^{2} d t + \int_{2}^{5} t \times 2 \sqrt{t - 1} d t$

(i ) $\displaystyle \int_{0}^{2} t^{2} d t = \Biggl[ \frac{{1}}{3} t^{3} \Biggr]_{0}^{2} = \frac{{8}}{3}$(ii) $\displaystyle t - 1 = s$라 두면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{2}^{5} t \times 2 \sqrt{t - 1} d t & = 2 \int_{1}^{4} ( s + 1 ) \sqrt{s} d s = 2 \int_{1}^{4} ( s \sqrt{s} + \sqrt{s} ) d s = 2 \Biggl[ \frac{{2}}{5} s^{\frac{{5}}{2}} + \frac{{2}}{3} s^{\frac{{3}}{2}} \Biggr]_{1}^{4} \\ & = 2 \left\{ \frac{{2}}{5} \left( 2^{5} - 1 \right) + \frac{{2}}{3} \left( 2^{3} - 1 \right) \right\} = 2 \left( \frac{{62}}{5} + \frac{{14}}{3} \right) = \frac{{124}}{5} + \frac{{28}}{3}\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle G ( 1 ) = \frac{{8}}{3} + \frac{{28}}{3} + \frac{{124}}{5} = \frac{{184}}{5}$이다.