의학계 3번

부산대 2018학년도 수시 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018su/uihak_3

【문항 3】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 사건 $\displaystyle A , B$ 가 서로 배반사건이면 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cup B ) = {\mathrm{P}} ( A ) + {\mathrm{P}} ( B )$

(나) 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률은 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B | A ) = \frac{{{\mathrm{P}} ( A \cap B )}}{{\mathrm{P}} ( A )}$ (단, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A ) > 0$ )

(다) 두 사건 $\displaystyle A , B$ 에 대하여 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cap B ) = {\mathrm{P}} ( A ) {\mathrm{P}} ( B | A ) = {\mathrm{P}} ( B ) {\mathrm{P}} ( A | B )$ (단, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A ) > 0$ , $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B ) > 0$ )

그림과 같이 $\displaystyle 3$ 개의 공장 $\displaystyle \mathrm{F}_{1} , \mathrm{F}_{2} , \mathrm{F}_{3}$ 에서 생산된 휴대폰이 물류센터 $\displaystyle \mathrm{A}$ 또는 $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 거쳐서 본사 $\displaystyle \mathrm{M}$ 에 배송된다. 각각의 공장에서는 동일한 수의 휴대폰을 생산하며, 각 공장마다 두 종류의 휴대폰(스마트폰과 폴더폰)을 생산하고 있다. 공장 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}$ 에서는 스마트폰 $\displaystyle 90 \%$ , 폴더폰 $\displaystyle 10 \%$ , 공장 $\displaystyle \mathrm{F}_{2}$ 에서는 스마트폰 $\displaystyle 80 \%$ , 폴더폰 $\displaystyle 20 \%$ , 공장 $\displaystyle \mathrm{F}_{3}$ 에서는 스마트폰 $\displaystyle 70 \%$ , 폴더폰 $\displaystyle 30 \%$ 의 비율로 생산한다. 공장 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}$ 에서 생산한 휴대폰은 모두 물류센터 $\displaystyle \mathrm{A}$ 로 보낸다. 공장 $\displaystyle \mathrm{F}_{2}$ 에서 생산한 스마트폰의 $\displaystyle 50 \%$ 와 폴더폰의 $\displaystyle 50 \%$ 는 물류센터 $\displaystyle \mathrm{A}$ 로 보내고 나머지는 물류센터 $\displaystyle \mathrm{B}$ 로 보낸다. 공장 $\displaystyle \mathrm{F}_{3}$ 에서 생산한 스마트폰의 $\displaystyle 75 \%$ 와 폴더폰의 $\displaystyle 75 \%$ 는 물류센터 $\displaystyle \mathrm{A}$ 로 보내고 나머지는 물류센터 $\displaystyle \mathrm{B}$ 로 보낸다.

[3-1] 본사 $\displaystyle \mathrm{M}$ 에서 임의로 휴대폰 $\displaystyle 2$ 대를 선택하였다. 선택한 $\displaystyle 2$ 대의 휴대폰이 서로 다른 종류이면서 서로 다른 공장에서 생산되었고 서로 다른 물류센터를 거쳐 배송된 휴대폰일 확률을 구하시오. (15점)

[3-2] 본사 $\displaystyle \mathrm{M}$ 에서 $\displaystyle n$ 대의 휴대폰을 선택하여 일렬로 나열하였다. 이웃한 휴대폰은 반드시 서로 다른 종류이면서 서로 다른 공장에서 생산되었고 서로 다른 물류센터를 거쳐 배송된 휴대폰이어야 한다. 이러한 방법으로 총 $\displaystyle n$ 대의 휴대폰을 나열하는 경우의 수를 $\displaystyle k_{n}$ 이라고 할 때, $\displaystyle k_{11}$ 과 $\displaystyle k_{18}$ 의 값을 각각 구하시오. (20점)

(예) $\displaystyle n = 8$ 일 경우 ( $\displaystyle \mathrm{S}$ :스마트폰, $\displaystyle \mathrm{D}$ :폴더폰)

$\displaystyle \mathrm{ASF}_{2} - \mathrm{BDF}_{3} - \mathrm{ASF}_{1} - \mathrm{BDF}_{2} - \mathrm{ASF}_{3} - \mathrm{BDF}_{2} - \mathrm{ASF}_{1} - \mathrm{BDF}_{3}$

$\displaystyle \mathrm{BSF}_{2} - \mathrm{ADF}_{3} - \mathrm{BSF}_{2} - \mathrm{ADF}_{1} - \mathrm{BSF}_{3} - \mathrm{ADF}_{1} - \mathrm{BSF}_{2} - \mathrm{ADF}_{3}$

$\displaystyle \vdots$

해설강의 준비중

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+5점 · 각 물류센터에 배송된 휴대폰의 종류 및 제조 공장에 대한 조건부확률을 구할 수 있다.

[3-1]선택된 휴대폰이 물류센터 A, B에서 배송된 사건을 각각 $\displaystyle A,B$ 라고 정의하고 공장 $\displaystyle F_1,F_2,F_3$ 에서 생산된 사건을 각각 $\displaystyle F_1,F_2,F_3$ 이라고 정의한다. $\displaystyle 3$ 개의 공장에서 생산된 휴대폰의 수는 동일하므로 $\displaystyle \mathrm{P}(F_1)=\mathrm{P}(F_2)=\mathrm{P}(F_3)=\frac13$ 이고 제시문 (가), (나)에 의해서 사건 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle F_1$ 이 동시에 일어날 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap F_1)=\mathrm{P}(A|F_1)\mathrm{P}(F_1)=1\times\frac13=\frac13$ 같은 방법으로 $\displaystyle A\cap F_2,A\cap F_3,B\cap F_2,B\cap F_3$ 의 확률은 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap F_2)=\frac12\times\frac13=\frac16,\ \mathrm{P}(A\cap F_3)=\frac34\times\frac13=\frac14$ $\displaystyle \mathrm{P}(B\cap F_2)=\frac12\times\frac13=\frac16,\ \mathrm{P}(B\cap F_3)=\frac14\times\frac13=\frac1{12}$

+5점 · 확률의 합의 법칙을 이용하여 각 물류센터에 배송된 휴대폰의 확률을 구할 수 있다.

각 공장에서 물류센터 A 또는 B로 보내지는 스마트폰과 폴더폰의 비율은 각 공장의 생산 비율과 동일하므로 본사 M에서 선택된 휴대폰의 확률은 다음과 같다.(1) 물류센터 A

	스마트폰	폴더폰
공장 $\mathrm{F}_1$	$\frac9{10}\times\frac13=\frac3{10}$	$\frac1{10}\times\frac13=\frac1{30}$
공장 $\mathrm{F}_2$	$\frac8{10}\times\frac16=\frac2{15}$	$\frac2{10}\times\frac16=\frac1{30}$
공장 $\mathrm{F}_3$	$\frac7{10}\times\frac14=\frac7{40}$	$\frac3{10}\times\frac14=\frac3{40}$

(2) 물류센터 B

	스마트폰	폴더폰
공장 $\mathrm{F}_1$	0	0
공장 $\mathrm{F}_2$	$\frac8{10}\times\frac16=\frac2{15}$	$\frac2{10}\times\frac16=\frac1{30}$
공장 $\mathrm{F}_3$	$\frac7{10}\times\frac1{12}=\frac7{120}$	$\frac3{10}\times\frac1{12}=\frac1{40}$

+5점 · 확률의 곱의 법칙을 이용하여 서로 다른 휴대폰에 대한 확률을 구할 수 있다.

본사 M에서 선택된 $\displaystyle 2$ 대의 휴대폰이 서로 다른 종류이면서 서로 다른 공장에서 생산되었고 서로 다른 물류센터를 거쳐 배송된 휴대폰일 확률은 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle 2\left[\frac2{15}\left(\frac1{30}+\frac3{40}\right)+\frac7{120}\left(\frac1{30}+\frac1{30}\right)+\frac1{30}\left(\frac3{10}+\frac7{40}\right)+\frac1{40}\left(\frac3{10}+\frac2{15}\right)\right]=2\left[\frac{11}{600}+\frac2{75}\right]=\frac9{100}$

+10점 · 첫 번째 휴대폰의 종류에 따라 규칙을 찾아 분류할 수 있다.

[3-2]선택할 수 있는 휴대폰의 종류는 $\displaystyle \mathrm{BSF}_2,\mathrm{BSF}_3,\mathrm{BDF}_2,\mathrm{BDF}_3,\mathrm{ASF}_1,\mathrm{ADF}_1,\mathrm{ASF}_2,\mathrm{ASF}_3\ \mathrm{ADF}_2,\mathrm{ADF}_3$ 이다. 이 중에서 물류센터 B에서 배송된 휴대폰의 그룹을 P, $\displaystyle F_1$ 공장에서 생산하고 물류센터 A에서 배송된 휴대폰의 그룹을 Q, $\displaystyle F_2$ 또는 $\displaystyle F_3$ 공장에서 생산하고 물류센터 A에서 배송된 휴대폰의 그룹을 R이라고 하자. 즉,

P	$\mathrm{BSF}_2,\mathrm{BSF}_3,\mathrm{BDF}_2,\mathrm{BDF}_3$
Q	$\mathrm{ASF}_1,\mathrm{ADF}_1$
R	$\mathrm{ASF}_2,\mathrm{ASF}_3,\mathrm{ADF}_2,\mathrm{ADF}_3,$

+5점 · 각 휴대폰마다 연속해서 나열할 수 있는 휴대폰의 경우의 수를 구할 수 있다.

P 그룹 휴대폰을 처음 나열하는 수형도는 다음과 같다.

P 그룹 휴대폰 다음엔 반드시 Q 그룹 또는 R그룹 휴대폰이 오며, Q 그룹 휴대폰 다음엔 반드시 P 그룹 휴대폰 2종류가 각각 오게 되고, R그룹 휴대폰 다음엔 P 그룹 휴대폰이 반드시 와야 한다. 위 규칙에 의하여 표로 나타내면

+5점 · 위 분류를 활용하여 귀납적으로

\displaystyle k_{11}

과

\displaystyle k_{18}

의 값을 구할 수 있다.

휴대폰	P	Q	R
1대	1	1	1
2대	$1+1=2$	$1\times2=2$	1
3대	$2+1=3$	$2\times2=4$	2
4대	$4+2=6$	$3\times2=6$	3
5대	$3^2$	$2^2\cdot3$	$2\cdot3$
⋮	⋮	⋮	⋮
11대	$3^5$	$2^2\cdot3^4$	$2\cdot3^4$
12대	$2\cdot3^5$	$2\cdot3^5$	$3^5$
⋮	⋮	⋮	⋮
18대	$2\cdot3^8$	$2\cdot3^8$	$3^8$

P 그룹, Q 그룹, R 그룹 휴대폰은 각각 4종류, 2종류, 4종류이므로 $\displaystyle k_{11}=4\cdot3^5+2\cdot2^2\cdot3^4+4\cdot2\cdot3^4=7\cdot2^2 3^4$ $\displaystyle k_{18}=4\cdot2\cdot3^8+2\cdot2\cdot3^8+4\cdot3^8=2^4\cdot3^8$

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