자연계열 3번

부산대 2018학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2018su/jayeon_3

【문항 $\displaystyle 3$ 】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 사건 $\displaystyle A , B$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 와 사건 $\displaystyle B$ 가 일어나는 경우의 수를 각각 $\displaystyle m$ , $\displaystyle n$ 이라고 하면 두 사건 $\displaystyle A , B$ 가 잇달아 일어나는 경우의 수는 $\displaystyle m \times n$ 이다.

(나) $\displaystyle n$ 개 중에서 서로 같은 것이 각각 $\displaystyle p , q , \cdots , r$ 개씩 있을 때, $\displaystyle n$ 개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{n!}{p!\times q!\times\cdots\times r!}$ (단, $\displaystyle p+q+\cdots+r=n$ )

[그림 $\displaystyle 1$ ]과 같이 한 변의 길이가 $\displaystyle 5$ 인 정사각형을 가로, 세로로 각각 $\displaystyle 5$ 등분하여 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 $\displaystyle 25$ 개의 정사각형을 만든 뒤, [그림 $\displaystyle 2$ ]와 같이 ❶번에서 ❷번까지 화살표 방향으로 $\displaystyle 25$ 개의 정사각형에 각각 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 정사각형 모양의 흰색 또는 검은색 타일을 붙이려고 한다. 흰색 타일은 연속해서 붙일 수 없고, 검은색 타일은 연속해서 $\displaystyle 2$ 개까지는 붙일 수 있다.

[3-1] 검은색 타일을 최대한 많이 붙이려고 한다. 이때 검은색 타일의 개수를 구하고, 타일을 붙일 수 있는 경우의 수를 구하시오. ( $\displaystyle 10$ 점)

[3-2] [그림3]과 같이 ♠가 표시된 3개의 위치에는 반드시 검은색 타일을 붙이는 경우의 수를 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

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+6점 · 붙일 수 있는 검은색 타일의 최대 개수를 구할 수 있다.

[3-1]검은색 타일을 연속해서 $\displaystyle 2$ 개씩 붙이는 횟수를 $\displaystyle A$ 라 하면, $\displaystyle 3A\le25,\ A\le\frac{25}3$ 이므로 $\displaystyle A$ 의 최댓값은 $\displaystyle 8$ 이고, $\displaystyle 25=3\times8+1$ 이다.따라서 검은색 타일의 최대 개수는 $\displaystyle 2 \times 8 + 1 = 17$ 이다.

+4점 · 검은색 타일의 개수가 최대일 때, 타일을 붙일 수 있는 경우의 수를 구할 수 있다.

이 때, 타일을 붙일 수 있는 경우의 수는‘검은색이 타일이 연속해서 붙는 경우’ 8개, ‘검은색 타일을 연속하지 않고 1개만 붙이는 경우’ 1개, 총 9개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다.그러므로 $\displaystyle \frac{(8+1)!}{8!}=9$ 이다.

[3-2]

+2점 · 주어진 경우가 [case1]과 [case2]로 나누어진다는 것을 알 수 있다.

[ 그림4 ]와 같이 ※자리에검은색 타일을 붙이는 경우 [ case1 ]과 흰색 타일을 붙이는 경우 [ case2 ]로 구별하고 검은색 타일이 연속해서 2개가 붙는 개수를 $\displaystyle x$ , 검은색 타일이 연속되지 않고 1개만 붙는 개수를 $\displaystyle y$ 라 하자.

+8점 · 방정식을 이용하여 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ), (ㄹ) 영역의 관계식을 각각 세울 수 있다.

+12점 · 같은 것이 있는 순열을 이용하여 (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ), (ㄹ) 영역의 경우의 수를 각각 구할 수 있다.

[ case 1 ]은 [ 그림5 ]와 같이 ❶과 ❷를 제외한 6개의 타일의 색이 정해진다.(ㄱ)영역에서 붙일 수 있는 흰색 타일의 개수는 $\displaystyle ( x + y - 1 )$ 이다.즉, $\displaystyle 2 x + y + ( x + y - 1 ) = 14 , 3 x + 2 y = 15$ 이를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle ( x , y )$ 는 $\displaystyle ( 1 , 6 ) , ( 3 , 3 ) , ( 5 , 0 )$ 뿐이다.

즉, (ㄱ)영역이 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{{7 !}}{6 !} + \frac{{6 !}}{3 ! 3 !} + \frac{{5 !}}{5 !} = 7 + 20 + 1 = 28$ 이다.

(ㄴ)영역에서 붙일 수 있는 흰색 타일의 개수는 $\displaystyle ( x + y - 1 )$ 이다.즉, $\displaystyle 2 x + y + ( x + y - 1 ) = 7 , 3 x + 2 y = 8$ 이를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle ( x , y )$ 는 $\displaystyle ( 0 , 4 ) , ( 2 , 1 )$ 뿐이다.

즉 (ㄴ)영역이 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{{4 !}}{4 !} + \frac{{3 !}}{2 !} = 1 + 3 = 4$ 이다.

따라서 [ case1 ]이 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle 28 \times 4 = 112$ 이다.

[ case 2 ]는 [ 그림6 ]과 같이 ❶과 ❷를 제외한 6개의 타일의 색이 정해진다.위와 같은 방법으로 계산하면 (ㄷ), (ㄹ)영역이 만들어지는 경우의 수는 각각 $\displaystyle 37,7$ 이다.

+3점 · 합의 법칙, 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.

따라서 [ case2 ]가 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle 37\times7=259$ 이다.그러므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 112 + 259 = 371$ 이다.

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