자연계열 3번

[3-1]검은색 타일을 연속해서 $\displaystyle 2$개씩 붙이는 횟수를 $\displaystyle A$라 하면,$\displaystyle 3A\le25,\ A\le\frac{25}3$이므로 $\displaystyle A$의 최댓값은 $\displaystyle 8$이고, $\displaystyle 25=3\times8+1$이다.따라서 검은색 타일의 최대 개수는 $\displaystyle 2 \times 8 + 1 = 17$이다.

이 때, 타일을 붙일 수 있는 경우의 수는‘검은색이 타일이 연속해서 붙는 경우’ 8개, ‘검은색 타일을 연속하지 않고 1개만 붙이는 경우’ 1개, 총 9개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다.그러므로 $\displaystyle \frac{(8+1)!}{8!}=9$이다.

[ case 1 ]은 [ 그림5 ]와 같이 ❶과 ❷를 제외한 6개의 타일의 색이 정해진다.(ㄱ)영역에서 붙일 수 있는 흰색 타일의 개수는 $\displaystyle ( x + y - 1 )$이다.즉, $\displaystyle 2 x + y + ( x + y - 1 ) = 14 , 3 x + 2 y = 15$이를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle ( x , y )$는 $\displaystyle ( 1 , 6 ) , ( 3 , 3 ) , ( 5 , 0 )$뿐이다.

즉, (ㄱ)영역이 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{{7 !}}{6 !} + \frac{{6 !}}{3 ! 3 !} + \frac{{5 !}}{5 !} = 7 + 20 + 1 = 28$이다.

(ㄴ)영역에서 붙일 수 있는 흰색 타일의 개수는 $\displaystyle ( x + y - 1 )$이다.즉, $\displaystyle 2 x + y + ( x + y - 1 ) = 7 , 3 x + 2 y = 8$이를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle ( x , y )$는 $\displaystyle ( 0 , 4 ) , ( 2 , 1 )$뿐이다.

즉 (ㄴ)영역이 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{{4 !}}{4 !} + \frac{{3 !}}{2 !} = 1 + 3 = 4$이다.

따라서 [ case1 ]이 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle 28 \times 4 = 112$이다.

[ case 2 ]는 [ 그림6 ]과 같이 ❶과 ❷를 제외한 6개의 타일의 색이 정해진다.위와 같은 방법으로 계산하면 (ㄷ), (ㄹ)영역이 만들어지는 경우의 수는 각각 $\displaystyle 37,7$이다.

따라서 [ case2 ]가 만들어지는 경우의 수는 $\displaystyle 37\times7=259$이다.그러므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 112 + 259 = 371$이다.