의학계 2번

[2-1]$\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형을 알아보기 위해 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 조사해보자.$\displaystyle x>0$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{1}{2(1+x)^{\frac{3}{2}}}+\frac{p^{2}}{2\sqrt{x}\,(x+p^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{-\sqrt{x}\,(x+p^{2})^{\frac{3}{2}}+p^{2}(1+x)^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{x}\,(1+x)^{\frac{3}{2}}(x+p^{2})^{\frac{3}{2}}}$ 으로부터$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 인 점을 찾아보면$\displaystyle f^{\prime}(x)=0\iff p^{2}(1+x)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x}\,(x+p^{2})^{\frac{3}{2}}\iff p^{4}(1+x)^{3}-x(x+p^{2})^{3}=0$ 이고$\displaystyle 0=p^{4}(1+x)^{3}-x(x+p^{2})^{3}=(p^{2}-x^{2})\left\{x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}\right\}$이므로$\displaystyle x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}=0$의 해를 조사하기 위해 판별식을 조사해보면$\displaystyle D=p^{4}(p^{2}-3)^{2}-4p^{2}=p^{2}\left\{p^{2}(p^{2}-3)^{2}-4\right\}=p^{2}(p^{2}-1)^{2}(p^{2}-4)$이다.

(i) $\displaystyle p>2$ 일 때, $\displaystyle D>0$이므로$\displaystyle x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}=0$는 서로 다른 두 실근을 갖는데, 두 실근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta\ (\alpha<\beta)$라고 하면,제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \alpha+\beta=p^{2}(p^{2}-3)>0$, $\displaystyle \alpha\beta=p^{2}>0$이므로 $\displaystyle 0<\alpha<p<\beta$임을 알 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(x)\ge 0\iff p^{2}(1+x)^{\frac{3}{2}}\ge\sqrt{x}\,(x+p^{2})^{\frac{3}{2}}\iff p^{4}(1+x)^{3}-x(x+p^{2})^{3}\ge 0$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호는 $\displaystyle p^{4}(1+x)^{3}-x(x+p^{2})^{3}$의 부호와 일치한다. 그러므로$\displaystyle p^{4}(1+x)^{3}-x(x+p^{2})^{3}=(p^{2}-x^{2})\left\{x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}\right\}=-(x+p)(x-p)(x-\alpha)(x-\beta)$의 $\displaystyle x>0$일 때, 부호를 조사하면

이므로, 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & p & \cdots & \beta & \cdots \\\\ \hline f^{\prime}(x) & & + & & - & & + & & - \\\\ \hline f(x) & 1 & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow \end{array}$최솟값이 될 수 있는 값은 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1=f(0)$이고 $\displaystyle f(p)=\frac{2}{\sqrt{1+p}}$ 인데

$\displaystyle p\ge 3$이면 $\displaystyle f(p)=\frac{2}{\sqrt{1+p}}\le 1$이므로 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+p}}$이고$\displaystyle 2<p<3$이면 $\displaystyle f(p)=\frac{2}{\sqrt{1+p}}>1$이므로 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 1이다.

(ii) $\displaystyle 0<p\le 2$ 일 때• $\displaystyle p\ne 1$, $\displaystyle p\ne 2$이면 $\displaystyle D<0$이므로$\displaystyle 0<x<p$이면 $\displaystyle (p^{2}-x^{2})\left\{x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}\right\}>0$이고$\displaystyle x>p$이면 $\displaystyle (p^{2}-x^{2})\left\{x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}\right\}<0$이다.• $\displaystyle p=1$ 또는 $\displaystyle p=2$이면 $\displaystyle D=0$ 이고$\displaystyle 0<x<p$이면 $\displaystyle (p^{2}-x^{2})\left\{x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}\right\}>0$이고$\displaystyle x>p$ 이면 $\displaystyle (p^{2}-x^{2})\left\{x^{2}-p^{2}(p^{2}-3)x+p^{2}\right\}<0$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 조사하면

제시문 (나)를 이용하여 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & p & \cdots \\\\ \hline f^{\prime}(x) & & + & & - \\\\ \hline f(x) & 1 & \nearrow & & \searrow \end{array}$$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1=f(0)$ 이므로 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 1이다.

그러므로 (i)과 (ii)의 결과를 종합해 보면$\displaystyle p\ge 3$이면 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+p}}$이고,$\displaystyle 0<p<3$ 이면 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 1이다.

[2-2][2-1]의 결과에 의하면$\displaystyle ab\ge 3$이면 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+a^{2}b^{2}}}$는 최솟값 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$을 가지므로모든 $\displaystyle x\ge 0$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+a^{2}b^{2}}}\ge\frac{2}{\sqrt{1+ab}}$이다.

그러므로 $\displaystyle x=a^{2}$일 때$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{a^{2}+a^{2}b^{2}}}\ge\frac{2}{\sqrt{1+ab}}$즉, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\ge\frac{2}{\sqrt{1+ab}}$가 성립한다.