자연계열 2번

$\displaystyle \frac{2x}9+\left(\frac{2y}4\right)\frac{dy}{dx}=0$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\left(-\frac{2x}9\right)\left(\frac4{2y}\right)=-\frac{4x}{9y}$이다.따라서 접선의 방정식은$\displaystyle y-y_1=-\frac{4x_1}{9y_1}(x-x_1)\quad\cdots\cdots\ (*)$

이다. 이 직선이 $\displaystyle \mathrm{P}(0,t)$를 지나므로$\displaystyle t-y_1=-\frac{4x_1}{9y_1}(0-x_1)$$\displaystyle t=\frac{4x_1^2+9y_1^2}{9y_1}=\frac{36}{9y_1}=\frac4{y_1}$$\displaystyle \therefore y_1=\frac4t$

이것을 $\displaystyle \frac{x_1^2}9+\frac{y_1^2}4=1$에 대입하여 $\displaystyle x_1$을 구하면$\displaystyle x_1=\pm\frac{3\sqrt{t^2-4}}t$

이다. 이때 구한 $\displaystyle x_{1}$과 $\displaystyle y_{1}$을 (*)에 대입하면 두 접선의 방정식은 각각$\displaystyle y = \frac{{\sqrt{t^{2} - 4}}}{3} x + t , y = - \frac{{\sqrt{t^{2} - 4}}}{3} x + t$이 된다.

$\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle (0,t,0)$이므로 (1)의 결과를 이용하면 두 접선이 직선 $\displaystyle y=-2, z=0$과 만나는 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$는 각각$\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac{-3(t+2)}{\sqrt{t^2-4}},-2,0\right),\ \mathrm{B}\left(\frac{3(t+2)}{\sqrt{t^2-4}},-2,0\right)$

이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAB}$의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\frac12\times\frac{6(t+2)}{\sqrt{t^2-4}}\times(t+2)=\frac{3(t+2)^2}{\sqrt{t^2-4}}$

이다. 따라서 사면체 $\displaystyle {\mathrm{QPAB}}$의 부피 $\displaystyle V$는$\displaystyle \begin{aligned}V&=\frac13\times(\text{삼각형 }\mathrm{PAB}\text{의 넓이})\times\overline{\mathrm{PQ}}\\&=\frac13\times\frac{3(t+2)^2}{\sqrt{t^2-4}}\times(t+2)=\frac{(t+2)^3}{\sqrt{t^2-4}}\end{aligned}$

이다. 이것을 $\displaystyle f ( t )$라 두고 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime} ( t ) & = \frac{{3 ( t + 2 )^{2} \sqrt{t^{2} - 4} - ( t + 2 )^{3} \times \frac{{2 t}}{2 \sqrt{t^{2} - 4}}}}{t^{2} - 4} \\ & = \frac{{2 ( t + 2 )^{2} ( t - 3 )}}{( t - 2 ) \sqrt{t^{2} - 4}}\end{aligned}$이고

$\displaystyle t > 2$이므로 위 증감표에 의해 $\displaystyle t = 3$일 때, $\displaystyle f ( t )$는 극소가 되면서 최솟값을 갖는다.따라서 최솟값은 $\displaystyle t = 3$일 때$\displaystyle f ( 3 ) = \frac{{1}}{3} \times \frac{{3 \cdot 5^{2}}}{\sqrt{5}} \times 5 = \frac{{125}}{\sqrt{5}} = 25 \sqrt{5}$이다.