의학계 2번

제시문 (가)의 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)^n\,dx&=\Biggl[\frac{(x-\alpha)(x-\beta)^{n+1}}{n+1}\Biggr]_\alpha^\beta-\frac{1}{n+1}\int_\alpha^\beta(x-\beta)^{n+1}\,dx.\end{aligned}$

경계항은 양 끝에서 모두 $\displaystyle 0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)^n\,dx&=-\Biggl[\frac{(x-\beta)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\Biggr]_\alpha^\beta\\&=\frac{(\alpha-\beta)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}.\end{aligned}$

이차방정식 $\displaystyle x^2-ax-b=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)라 하면$\displaystyle \alpha=\frac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2}$, $\displaystyle \beta=\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2}$이므로$\displaystyle c=\beta-\alpha=\sqrt{a^2+4b}$이다.

영역 $\displaystyle D(a,\ b)$의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면, [2-1]에서 $\displaystyle n=1$일 때의 결과에 의해$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_\alpha^\beta(ax+b-x^2)\,dx=-\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\&=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\frac{c^3}{6}\\&=\frac{1}{6}(a^2+4b)\sqrt{a^2+4b}.\end{aligned}$

$\displaystyle S$가 유리수이고 $\displaystyle a^2+4b$가 양의 정수이므로$\displaystyle c=\frac{6S}{a^2+4b}$는 유리수이다.정수의 제곱근이 유리수이면 정수이므로 $\displaystyle c$는 자연수이다.

$\displaystyle c^2=a^2+4b$이므로 $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$의 홀짝은 같다.따라서 $\displaystyle \alpha=\frac{a-c}{2}$, $\displaystyle \beta=\frac{a+c}{2}$는 모두 정수이다.

영역에 포함된 정수 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=\alpha+k$ ($\displaystyle k=0,1,\ldots,c$)로 나타낼 수 있다.이때 두 경계의 높이 차는$\displaystyle \begin{aligned}ax+b-x^2&=(x-\alpha)(\beta-x)\\&=k(c-k).\end{aligned}$두 경계의 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle x^2$, $\displaystyle ax+b$가 모두 정수이고 경계를 포함하므로,이 세로줄 위의 정수 좌표점은 $\displaystyle k(c-k)+1$개이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\text{따라서 }L(a,\ b)&=\sum_{k=0}^{c}\{k(c-k)+1\}\\&=c\frac{c(c+1)}{2}-\frac{c(c+1)(2c+1)}{6}+(c+1)\\&=\frac{(c+1)(c^2-c+6)}{6}.\end{aligned}$