자연계열 3번

+10점 · 3-1

[3-1]

↙방향으로 $\displaystyle 1$만큼 이동하는 것을 $\displaystyle a$,↘방향으로 $\displaystyle 1$만큼 이동하는 것을 $\displaystyle b$,→방향으로 $\displaystyle 1$만큼 이동하는 것을 $\displaystyle c$,←방향으로 $\displaystyle 1$만큼 이동하는 것을 $\displaystyle d$라 하면

이동거리가 $\displaystyle 5$인 경로는 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.

(ⅰ) $\displaystyle a$, $\displaystyle a$, $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$를 일렬로 나열하는 경우

$\displaystyle a$, $\displaystyle a$, $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$를 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5!}{3!} = 20$(가지)이다.

이 중에서 그림의 표시된 지점(★)에서는 →방향으로는 이동할 수 없으므로

1) $\displaystyle c$를 먼저 선택하고 나머지 $\displaystyle a$, $\displaystyle a$, $\displaystyle a$, $\displaystyle b$를 일렬로 나열하는 경우의 수 $\displaystyle \frac{4!}{3!} = 4$(가지)

2) $\displaystyle b$, $\displaystyle c$순으로 선택하고 나머지 $\displaystyle a$, $\displaystyle a$, $\displaystyle a$를 일렬로 나열하는 경우의 수 $\displaystyle \frac{3!}{3!} = 1$(가지)

의 $\displaystyle 5$가지의 경우는 위 도로망에서 불가능하다.

따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 20 - 5 = 15$(가지)이다.

(ⅱ) $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle b$, $\displaystyle b$, $\displaystyle d$를 일렬로 나열하는 경우

(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 $\displaystyle 15$(가지)이다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 이동거리가 $\displaystyle 5$인 경로는 $\displaystyle 15 + 15 = 30$(가지)이다.

※ 참고

좌표평면 위에 $\displaystyle \mathrm{A}$지점을 $\displaystyle \left( 0 , 0 \right)$으로 두고, 각 방향으로 $\displaystyle 1$만큼 이동하는 것을

↙방향 : $\displaystyle \overrightarrow{a} = \left( 1 , 0 \right)$,↘방향 : $\displaystyle \overrightarrow{b} = \left( 0 , 1 \right)$

→방향 : $\displaystyle \overrightarrow{c} = \left( - 1 , 1 \right)$←방향 : $\displaystyle \overrightarrow{d} = \left( 1 , - 1 \right)$

이라 하자. $\displaystyle \mathrm{C}$지점은 $\displaystyle \left( 2 , 2 \right)$이므로 위 네 방향으로 이동하는 횟수를 각각 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$, $\displaystyle w$라 두면

$\displaystyle \begin{cases}x + y + z + w = 5 \\ x - z + w = 2 \\ y + z - w = 2\end{cases}$

이 성립하고, 연립방정식을 풀면

$\displaystyle x = 3$, $\displaystyle y = 1$, $\displaystyle z = 1$, $\displaystyle w = 0$ 혹은 $\displaystyle x = 1$, $\displaystyle y = 3$, $\displaystyle z = 0$, $\displaystyle w = 1$

의 두 가지의 경우만 존재한다.

+20점 · 3-2

[3-2]

그림의 표시된 세 지점(★)에서는 →방향으로는 이동할 수 없다.즉, 뽑은 카드가 $\displaystyle 3$이면 남은 두 장의 카드 중에서 한 장의 카드를 다시 뽑아야 하므로★지점에서 각 방향으로 이동할 수 있는 확률은$\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

★지점 이외에서는 $\displaystyle \mathrm{B}$지점까지 이동할 때 지나는 모든 점에서 각 방향으로 이동할 수 있는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다.

위 시행을 반복하였을 때$\displaystyle \mathrm{A}$지점을 출발하여 $\displaystyle \mathrm{B}$지점에 도착하는 사건을 $\displaystyle L$이라 하고,이동한 거리가 $\displaystyle 3$인 사건을 $\displaystyle D_{3}$, 이동한 거리가 $\displaystyle 4$인 사건을 $\displaystyle D_{4}$라 하자.

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( X = 3 ) = {\mathrm{P}} ( D_{3} | L ) = \frac{{{\mathrm{P}} ( D_{3} \cap L )}}{{\mathrm{P}} ( L )}$이고

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( D_{3} \cap L )$은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

(ⅰ) $\displaystyle \star_{1}$, $\displaystyle \star_{2}$ 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$

(ⅱ) $\displaystyle \star_{1}$지점은 지나고, $\displaystyle \star_{2}$지점을 지나지 않는 경우 : $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

(ⅲ) $\displaystyle \star_{1}$지점은 지나지 않고, $\displaystyle \star_{2}$지점을 지나는 경우 : $\displaystyle 0$

(ⅳ) $\displaystyle \star_{1}$, $\displaystyle \star_{2}$ 두 지점을 모두 지나는 경우 : $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

따라서 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( D_{3} \cap L ) = \frac{1}{18} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{19}{72}$이다.

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( X = 4 ) = {\mathrm{P}} ( D_{4} | L ) = \frac{{{\mathrm{P}} ( D_{4} \cap L )}}{{\mathrm{P}} ( L )}$이고

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( D_{4} \cap L )$은 다음의 네 가지 경우로 나누어서 구할 수 있다.

(ⅰ) $\displaystyle \star_{1}$, $\displaystyle \star_{2}$ 두 지점을 모두 지나지 않는 경우 : $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 3 = \frac{1}{18}$

(ⅱ) $\displaystyle \star_{1}$지점은 지나고, $\displaystyle \star_{2}$지점을 지나지 않는 경우 : $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 2 = \frac{1}{18}$

(ⅲ) $\displaystyle \star_{1}$지점은 지나지 않고, $\displaystyle \star_{2}$지점을 지나는 경우 : $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{36}$

(ⅳ) $\displaystyle \star_{1}$, $\displaystyle \star_{2}$ 두 지점을 모두 지나는 경우 : $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 2 = \frac{1}{12}$

따라서 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( D_{4} \cap L ) = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{2}{9}$이다.

그러므로 $\displaystyle \frac{{{\mathrm{P}} ( X = 3 )}}{{\mathrm{P}} ( X = 4 )} = \frac{{{\mathrm{P}} ( D_{3} \cap L )}}{{\mathrm{P}} ( D_{4} \cap L )} = \frac{{\frac{19}{72}}}{\frac{2}{9}}= \frac{19}{16}$