의학계 1번

두 원 $\displaystyle C_{1}$, $\displaystyle C_{2}$의 교점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 $\displaystyle \left( a , b , c \right)$라 하면 $\displaystyle a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나며 구 $\displaystyle S$와 접하는 평면의 법선벡터는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$이므로 이 평면의 방정식은 $\displaystyle a x + b y + c z = 1$이다. 이 평면을 $\displaystyle \alpha$라 하자. 직선 $\displaystyle l_{1}$은 평면 $\displaystyle \beta$ 위에 있고, 또한 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 구 $\displaystyle S$에 접하는 직선이므로 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에도 있다. 따라서 직선 $\displaystyle l_{1}$은 두 평면 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$의 교선이다.

직선 $\displaystyle l_{1}$은 두 평면 $\displaystyle \alpha : a x + b y + c z = 1$, $\displaystyle \beta : y = b$의 교선이므로 직선 $\displaystyle l_{1}$의 방정식은$\displaystyle a x + c z = 1 - b^{2}$, $\displaystyle y = b$이고 방향벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{u}_{1} = \left( c , 0 , - a \right)$이다.

같은 방법으로 직선 $\displaystyle l_{2}$는 두 평면 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \gamma$의 교선이고 직선 $\displaystyle l_{2}$의 방정식은$\displaystyle a x + b y = 1 - c^{2}$, $\displaystyle z = c$이고 방향벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{u}_{2} = \left( b , - a , 0 \right)$이다. ([그림1])

따라서$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2}{|\overrightarrow{u}_1||\overrightarrow{u}_2|}=\frac{bc}{\sqrt{b^2+a^2}\sqrt{c^2+a^2}}=\frac{bc}{\sqrt{1-b^2}\sqrt{1-c^2}}$

한편, $\displaystyle 2 b c \le b^{2} + c^{2} = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle b c \le \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\cos\theta&=\frac{bc}{\sqrt{1-b^2}\sqrt{1-c^2}}=\frac{bc}{\sqrt{1-(b^2+c^2)+b^2c^2}}\\&=\frac{bc}{\sqrt{\frac34+b^2c^2}}=\frac1{\sqrt{\frac3{4b^2c^2}+1}}\\&\le\frac1{\sqrt{\frac{3\times8^2}4+1}}=\frac17\end{aligned}$

그러므로 $\displaystyle b = c = \frac{\sqrt{2}}{4}$일 때, $\displaystyle \cos \theta$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{7}$이다.

$\displaystyle x^{2} + y^{2} = 1 - t^{2}$, $\displaystyle z = t$ 위에 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( a , \frac{\sqrt{2}}{2} , t \right)$와 $\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( - a , \frac{\sqrt{2}}{2} , t \right)$에서의 두 접선이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{R}$이라고 할 때, 직선 $\displaystyle \mathrm{PR}$의 방정식은$\displaystyle \left( y - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - \sqrt{2} a ( x - a )$,$\displaystyle y=-\sqrt2ax+\sqrt2\left(a^2+\frac12\right)$

이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 $\displaystyle \left(0,\sqrt2\left(a^2+\frac12\right),t\right)$이다.

$\displaystyle a^{2} + t^{2} = \frac{1}{2}$이기 때문에 입체의 단면인 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 넓이를 $\displaystyle S ( t )$라 하면 $\displaystyle S ( t ) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} - t^{2} \right)^{\frac{3}{2}}$이다.

제시문 (마)에 의해 구하고자 하는 부피 $\displaystyle V$는$\displaystyle V = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} S ( t ) d t = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} - t^{2} \right)^{\frac{3}{2}} d t= 2 \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} - t^{2} \right)^{\frac{3}{2}} d t$

이제 $\displaystyle t = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta$라고 치환하면, $\displaystyle d t = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta d \theta$이고$\displaystyle t = 0$일 때 $\displaystyle \theta = 0$, $\displaystyle t = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$이므로$\displaystyle V = 2 \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} - t^{2} \right)^{\frac{3}{2}} d t = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{4} \theta d \theta$

제시문 (라)를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}V&=\frac{\sqrt2}2\int_0^{\frac\pi4}(\cos^2\theta)^2d\theta\\&=\frac{\sqrt2}2\int_0^{\frac\pi4}\left(\frac{\cos2\theta+1}2\right)^2d\theta\\&=\frac{\sqrt2}8\int_0^{\frac\pi4}(\cos^22\theta+2\cos2\theta+1)d\theta\\&=\frac{\sqrt2}8\int_0^{\frac\pi4}\left(\frac{\cos4\theta+1}2+2\cos2\theta+1\right)d\theta\\&=\frac{\sqrt2}8\Biggl[\frac18\sin4\theta+\sin2\theta+\frac32\theta\Biggr]_0^{\frac\pi4}\\&=\frac{\sqrt2}8+\frac{3\sqrt2}{64}\pi\end{aligned}$

그러므로 주어진 입체의 부피는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{{3 \sqrt{2}}}{64} \pi$이다.