자연계열 1번

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{\{f(x)\}^2+1}$이고, $\displaystyle \{f^{\prime}(x)\}^2=\{f(x)\}^2+1$이다. $\displaystyle (\{f(x)\}^2+1>0)$$\displaystyle f^{\prime}(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) = \frac{{2 f ( x ) f^{\prime} ( x )}}{2 \sqrt{\left\{ f ( x ) \right\}^{2} + 1}} = \frac{{f ( x ) \sqrt{\left\{ f ( x ) \right\}^{2} + 1}}}{\sqrt{\left\{ f ( x ) \right\}^{2} + 1}} = f ( x )$

따라서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=f(x)$이다.이 식의 양변에 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 더하면$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$

이고 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)=f(x)+\sqrt{\{f(x)\}^2+1}>0$이므로 양변을 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)$로 나누면$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)}{f(x)+f^{\prime}(x)}=1$

이다. 양변을 부정적분하면$\displaystyle \int \frac{{f^{\prime} ( x ) + f^{\prime \prime} ( x )}}{f ( x ) + f^{\prime} ( x )} d x = \int 1 d x$

따라서$\displaystyle \ln\{f(x)+f^{\prime}(x)\}=x+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수)이다. 여기서$\displaystyle f(0)=\int_0^0\sqrt{\{f(t)\}^2+1}dt=0,\quad f^{\prime}(0)=\sqrt{\{f(0)\}^2+1}=1$

이므로 $\displaystyle \ln\{f(0)+f^{\prime}(0)\}=\ln1=C=0$이 성립한다. 그러므로$\displaystyle \ln\{f(x)+f^{\prime}(x)\}=x$

이다. 따라서 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)=e^x$이다.한편 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{\{f(x)\}^2+1}$이므로 위 식에 대입하면$\displaystyle f(x)+\sqrt{\{f(x)\}^2+1}=e^x$$\displaystyle \sqrt{\{f(x)\}^2+1}=e^x-f(x)$

이다. 양변을 제곱하면$\displaystyle \{f(x)\}^2+1=e^{2x}-2e^xf(x)+\{f(x)\}^2$$\displaystyle \therefore f(x)=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{e^x-e^{-x}}2$

$\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \frac{{e^{x} + e^{- x}}}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{{f ( x )}}{f^{\prime} ( x )} = \frac{{e^{x} - e^{- x}}}{e^{x} + e^{- x}}$이다.

$\displaystyle \int_{0}^{1} \left\{ \frac{{f ( x )}}{f^{\prime} ( x )} \right\}^{2} d x = \int_{0}^{1} \left( \frac{{e^{x} - e^{- x}}}{e^{x} + e^{- x}} \right)^{2} d x = \int_{0}^{1} \frac{{\left( e^{x} + e^{- x} \right)^{2} - 4}}{\left( e^{x} + e^{- x} \right)^{2}} d x= \int_{0}^{1} \left\{ 1 - \frac{{4}}{\left( e^{x} + e^{- x} \right)^{2}} \right\} d x = 1 - \int_{0}^{1} \frac{{4}}{\left( e^{x} + e^{- x} \right)^{2}} d x$이다. 여기서

$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{{4}}{\left( e^{x} + e^{- x} \right)^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{{4}}{\left( e^{x} + \frac{{1}}{e^{x}} \right)^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{{4}}{\left( \frac{{e^{2 x} + 1}}{e^{x}} \right)^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{{4 e^{2 x}}}{\left( e^{2 x} + 1 \right)^{2}} d x$

이다. $\displaystyle t = e^{2 x} + 1$로 놓으면 $\displaystyle \frac{{d t}}{d x} = 2 e^{2 x}$,,$\displaystyle x = 0$일 때 $\displaystyle t = 2$이고 $\displaystyle x = 1$일 때 $\displaystyle t = e^{2} + 1$이므로$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{{4 e^{2 x}}}{\left( e^{2 x} + 1 \right)^{2}} d x = \int_{2}^{e^{2} + 1} \frac{{2}}{t^{2}} d t = 2 \Biggl[ - \frac{{1}}{t} \Biggr]_{2}^{e^{2} + 1} = - \frac{{2}}{e^{2} + 1} + 1$

이다. 따라서$\displaystyle \therefore \int_{0}^{1} \left( \frac{{e^{x} - e^{- x}}}{e^{x} + e^{- x}} \right)^{2} d x = 1 - \int_{0}^{1} \frac{{4}}{\left( e^{x} + e^{- x} \right)^{2}} d x = 1 - \left( - \frac{{2}}{e^{2} + 1} + 1 \right) = \frac{{2}}{e^{2} + 1}$