자연계열 1번

[1-1]삼차함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle f(1)=f^{\prime}(1)=0$이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle x$축에 접하므로$\displaystyle f(x)=(x-1)^2(ax+b)$의 형태가 된다. 또한 $\displaystyle f(x)$가 일대일대응이므로 $\displaystyle f(x)=a(x-1)^3$이다.

방정식 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$의 서로 다른 실근은 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점의 $\displaystyle x$좌표와 같다.$\displaystyle y=f(x)$가 증가함수이므로 두 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점은 모두 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있다.조건 (ii)에 의해 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x$가 서로 다른 두 점에서 만나므로 두 점 중 한 점은 접점이다.

접점의 좌표를 $\displaystyle (t,t)$라 하면 $\displaystyle f(t)=t$이고 $\displaystyle f^{\prime}(t)=1$이다.$\displaystyle f(t)=t$에서　$\displaystyle a(t-1)^3=t$　⋯ ①$\displaystyle f^{\prime}(t)=1$에서 $\displaystyle 3a(t-1)^2=1$　⋯ ②①, ②에서 $\displaystyle \frac13(t-1)=t$이고 $\displaystyle t=-\frac12$이다. 그러므로 $\displaystyle a=\frac4{27}$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=\frac4{27}(x-1)^3$이다.

[1-2]함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x$의 교점의 좌표를 $\displaystyle (t,t)$라 하자.$\displaystyle x=t$에서 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 기울기를 $\displaystyle m_1$이라 하면 접선의 방정식은 $\displaystyle y=m_1(x-t)+t$이다.$\displaystyle x=t$에서 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$의 접선의 기울기를 $\displaystyle m_2$라 하면 접선의 방정식은 $\displaystyle y=m_2(x-t)+t$이다.조건 (ii)에 의해$\displaystyle m_1=m_2\quad\cdots\text{①}$$\displaystyle f$와 $\displaystyle f^{-1}$가 $\displaystyle y=x$에 대해 대칭이므로 $\displaystyle y=m_1(x-t)+t$를 $\displaystyle y=x$에 대해 대칭하면 $\displaystyle x=m_1(y-t)+t$에서$\displaystyle y=\frac1{m_1}(x-t)+t$이다. 이 직선의 방정식이 $\displaystyle y=m_2(x-t)+t$와 일치하므로 $\displaystyle \frac1{m_1}=m_2$이고$\displaystyle m_1\times m_2=1\quad\cdots\text{②}$이다.①, ②에 의해 $\displaystyle m_1^2=1$이고 $\displaystyle m_1=\pm1$이다. 함수 $\displaystyle f$가 감소함수이므로 $\displaystyle m_1=m_2=-1$이다.

[1-1]에서 $\displaystyle f(x)=a(x-1)^3$이고, $\displaystyle (t,t)$를 지나므로 $\displaystyle f(t)=t$에서$\displaystyle a(t-1)^3=t\quad\cdots\text{③}$$\displaystyle x=t$에서 접선의 기울기가 $\displaystyle -1$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=-1$에서$\displaystyle 3a(t-1)^2=-1\quad\cdots\text{④}$③, ④에 의해서 $\displaystyle -\frac13(t-1)=t$이고 $\displaystyle t=\frac14$이다. 그러므로 $\displaystyle a=-\frac{16}{27}$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=-\frac{16}{27}(x-1)^3$이다.

방정식 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$가 적어도 3개의 서로 다른 실근을 가짐을 보이자.조건 (i)에 의해 $\displaystyle y=f(x)$는 감소함수이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x$의 교점의 개수는 1이고이 점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$의 실근과 일치하므로 $\displaystyle x=\frac14$이 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$의 하나의 실근이 된다.$\displaystyle g(x)=f(x)-f^{-1}(x)$라 하면, $\displaystyle g(x)$는 실수 전체에서 연속이다.$\displaystyle g(-1)=f(-1)-f^{-1}(-1)=\frac{128}{27}-\left(1+\frac3{2\sqrt[3]2}\right)>0$이고, $\displaystyle g(0)=f(0)-f^{-1}(0)=\frac{16}{27}-1<0$이다.따라서 제시문 (다)에 의해서 $\displaystyle (-1,0)$에서 $\displaystyle g(c)=0$인 $\displaystyle c$가 적어도 하나 존재한다.$\displaystyle f(c)=f^{-1}(c)$이므로 $\displaystyle c$가 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$의 하나의 실근이 된다.

$\displaystyle f(c)=q$라 하면 $\displaystyle f^{-1}(c)=q$이고, $\displaystyle f$와 $\displaystyle f^{-1}$가 $\displaystyle y=x$에 대해 대칭이므로 $\displaystyle f^{-1}(q)=c,\;f(q)=c$이다.$\displaystyle f(q)=c=f^{-1}(q)$가 되어 $\displaystyle q$가 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$의 하나의 실근이 된다.$\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=x$의 교점의 개수는 1이라는 사실에 의해 $\displaystyle c\ne q$이다.따라서 $\displaystyle \frac14,\;c,\;q$가 $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$의 서로 다른 세 실근이다.