의·약학계 1번

[1-1]$\displaystyle f(x)=x-\sin x$라 두고 $\displaystyle f(x)>0$임을 보이자. 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\cos x>0$이고 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)>0$이다.

다음으로 $\displaystyle g(x)=\frac16x^3-x+\sin x$라 두고 $\displaystyle g(x)>0$임을 보이자. 구간 $\displaystyle (0,1)$에서$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac12x^2-1+\cos x$이고 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=x-\sin x>0$이다. 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)>0$이고 $\displaystyle g^{\prime}(0)=0$이므로$\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이다. 또한 $\displaystyle g(0)=0$이므로 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle g(x)>0$이다.

[1-2]$\displaystyle S_n=2^n\left(\frac12\sin\left(\frac1{2^n}\right)\right)=2^{n-1}\sin\left(\frac1{2^n}\right)$은 부채꼴 OAB의 내부에 있으므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle S_n<\frac12\quad\cdots\text{①}$이다.그리고 [1-1]에서 $\displaystyle x-\sin x<\frac16x^3$이므로 $\displaystyle x$에 $\displaystyle \frac1{2^n}$을 대입하면 $\displaystyle \frac1{2^n}-\sin\left(\frac1{2^n}\right)<\frac16\left(\frac1{2^n}\right)^3$이고 양변에$\displaystyle 2^{n-1}$을 곱하면 $\displaystyle \frac12\left(1-2^n\sin\left(\frac1{2^n}\right)\right)<\frac1{12}\left(\frac1{4^n}\right)$이다.한편 $\displaystyle \frac12-S_n=\frac12\left(1-2^n\sin\left(\frac1{2^n}\right)\right)$이므로 $\displaystyle \frac12-S_n<\frac1{12}\left(\frac1{4^n}\right)$　⋯ ②이다.

②를 이용하여 $\displaystyle -2^kS_k$를 정리하면$\displaystyle -2^kS_k<\frac1{12}\left(\frac{2^k}{4^k}\right)-\left(\frac{2^k}2\right)=\frac1{12}\left(\frac1{2^k}\right)-2^{k-1}\quad\cdots\text{③}$이다.

$\displaystyle b_n$을 $\displaystyle S_k$에 대한 식으로 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}b_n&=2^1a_1+2^2a_2+\cdots+2^na_n\\&=2S_1+4(S_2-S_1)+8(S_3-S_2)+\cdots+2^n(S_n-S_{n-1})\\&=2^nS_n-\left((4-2)S_1+(8-4)S_2+\cdots+(2^n-2^{n-1})S_{n-1}\right)\\&=2^nS_n-(2S_1+4S_2+\cdots+2^{n-1}S_{n-1})\end{aligned}$이다.

①에서 $\displaystyle b_n<2^n\left(\frac12\right)-(2S_1+4S_2+\cdots+2^{n-1}S_{n-1})$이다.③에서$\displaystyle b_n<2^{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{12}\left(\frac1{2^k}\right)-2^{k-1}\right)$

$\displaystyle \begin{aligned}&=2^{n-1}+\frac1{12}\left(\frac{\frac12\left(1-\left(\frac12\right)^{n-1}\right)}{1-\frac12}\right)-(2^{n-1}-1)\\&<1+\frac1{12}\times\frac{\frac12}{\frac12}=\frac{13}{12}\end{aligned}$이다. 그러므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle b_n<\frac{13}{12}$이다.