자연계열 2번

부산대 2024학년도 수시 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/pusan/2024su/jayeon_2

【문항 2】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 변수 $\displaystyle x,y$ 사이의 관계를 변수 $\displaystyle t$ 를 매개로 하여 $\displaystyle x=f(t),\;y=g(t)$ 와 같이 나타낼 때 변수 $\displaystyle t$ 를 $\displaystyle x,y$ 의 매개변수라 하며, 위 함수를 매개변수로 나타낸 함수라고 한다.

(나) 미분가능한 함수 $\displaystyle t=g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha,\;g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양 끝점으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때,Comment. 이 치환적분 공식에서는 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle g(x)$ 의 값이 움직이는 전체 범위에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g$ 가 단조함수이면 두 끝값 사이의 구간만 확인하면 된다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(t)\,dt$

좌표평면 위를 움직이는 점 Q가 다음 조건을 만족시킨다.

(i) 곡선 $\displaystyle y=\frac12x^2$ 위를 움직이는 점 P가 있다. 점 Q는 곡선 $\displaystyle y=\frac12x^2$ 위의 점 P에서의 접선에 수직인 직선 위에 있으면서 점 P와 거리가 1인 점이다.(ii) 점 Q의 $\displaystyle y$ 좌표는 점 P의 $\displaystyle y$ 좌표보다 항상 크다.

매개변수 $\displaystyle t$ 에 대하여 점 P의 좌표를 $\displaystyle \left(t,\frac{t^2}2\right)$ 이라 할 때, 점 Q의 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 는 $\displaystyle x=f(t),\;y=g(t)$ 이다.점 Q가 나타내는 곡선을 $\displaystyle D$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[2-1] $\displaystyle f(t)$ 와 $\displaystyle g(t)$ 를 $\displaystyle t$ 에 관한 식으로 나타내시오. (10점)

[2-2] $\displaystyle x=f(t),\;y=g(t)$ 인 점 $\displaystyle \mathrm Q(x,y)$ 에서의 곡선 $\displaystyle D$ 의 접선과 곡선 $\displaystyle y=\frac12x^2$ 이 만나는 두 점을 A, B라 하자. 선분 AB의 길이를 $\displaystyle l(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{l(t)}{t\sqrt t}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle t\ne0$ ) (15점)

[2-3] $\displaystyle \int_{\sqrt3}^{2\sqrt2}\frac1t f(t)g^{\prime}(t)\,dt$ 의 값을 구하시오. (10점)

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부산대 2024학년도 수시 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/pusan/2024su/jayeon_2

Tip. 이 문제에서는 포물선이 $\displaystyle y=\frac12x^2$ 이므로 점 P에서의 접선의 기울기가 바로 $\displaystyle t$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$ 이다. 따라서 $\displaystyle t=\tan\theta$ 로 놓으면 P에서 Q로 이동할 때의 좌표 변화가 $\displaystyle (-\sin\theta,\cos\theta)$ 가 되어 좌표와 접선의 기울기를 간단히 구할 수 있다.

+10점 · 접선 방향과 거리 조건으로 Q의 좌표를 구하고, f(t), g(t)를 t에 관한 식으로 나타낸다.

[2-1] $\displaystyle t=\tan\theta\;\left(-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2\right)$ 로 놓자.점 $\displaystyle \mathrm P\left(t,\frac{t^2}2\right)$ 에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle t=\tan\theta$ 이므로,접선 방향은 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)$ 로 나타낼 수 있다.이 방향에 수직이고 위쪽을 향하는 길이 1의 방향은 $\displaystyle (-\sin\theta,\cos\theta)$ 이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$ 이고 Q의 $\displaystyle y$ 좌표가 P보다 크므로 $\displaystyle \mathrm Q=\left(\tan\theta-\sin\theta,\frac12\tan^2\theta+\cos\theta\right).$ $\displaystyle \cos\theta>0$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt{1+t^2}},\qquad\sin\theta=\frac t{\sqrt{1+t^2}}.$ 따라서 모든 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle \boxed{f(t)=t-\frac t{\sqrt{1+t^2}},\qquad g(t)=\frac{t^2}2+\frac1{\sqrt{1+t^2}}}.$

+15점 · Q에서의 접선의 기울기를 구하고, 포물선과의 두 교점을 이용하여 선분 AB의 길이와 극한값을 구한다.

[2-2]점 Q의 좌표를 $\displaystyle \theta$ 로 미분하면 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sec^2\theta-\cos\theta,$ $\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=\tan\theta\sec^2\theta-\sin\theta=\tan\theta(\sec^2\theta-\cos\theta).$ $\displaystyle t\ne0$ 이면 $\displaystyle \theta\ne0$ 이고 $\displaystyle \sec^2\theta-\cos\theta>0$ 이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\tan\theta=t.$ 따라서 Q에서의 접선은 $\displaystyle y-g(t)=t\{x-f(t)\}.$ 이를 정리하면 $\displaystyle y=tx-\frac{t^2}2+\sqrt{1+t^2}.$ 포물선 $\displaystyle y=\frac12x^2$ 과 연립하여 $\displaystyle (x-t)^2=2\sqrt{1+t^2}.$ 두 교점 A, B의 $\displaystyle x$ 좌표 차이는 $\displaystyle 2\sqrt2(1+t^2)^{1/4}$ 이고,두 점을 잇는 직선의 기울기는 $\displaystyle t$ 이므로 $\displaystyle l(t)=2\sqrt2(1+t^2)^{1/4}\sqrt{1+t^2}=2\sqrt2(1+t^2)^{3/4}.$ 따라서 $\displaystyle \boxed{\lim_{t\to\infty}\frac{l(t)}{t\sqrt t}=2\sqrt2\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1{t^2}\right)^{3/4}=2\sqrt2}.$

+10점 · g′(t)=tf′(t)를 이용하여 정적분의 값을 구한다.

[2-3][2-2]에서 얻은 $\displaystyle \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}=t$ 에 의하여, 적분 구간에서 $\displaystyle \frac{g^{\prime}(t)}t=f^{\prime}(t).$ 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\int_{\sqrt3}^{2\sqrt2}\frac1t f(t)g^{\prime}(t)\,dt&=\int_{\sqrt3}^{2\sqrt2}f(t)f^{\prime}(t)\,dt\\&=\Biggl[\frac12\{f(t)\}^2\Biggr]_{\sqrt3}^{2\sqrt2}.\end{aligned}$ $\displaystyle f(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}2$ , $\displaystyle f(2\sqrt2)=\frac{4\sqrt2}3$ 이므로 $\displaystyle \boxed{\frac12\left\{\left(\frac{4\sqrt2}3\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2\right\}=\frac{101}{72}}.$

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