의·약학계 2번

[2-1]$\displaystyle t=\tan\theta\;\left(-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2\right)$로 놓자.점 $\displaystyle \mathrm P\left(t,\frac{t^2}2\right)$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle t=\tan\theta$이므로,접선 방향은 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)$로 나타낼 수 있다.이 방향에 수직이고 위쪽을 향하는 길이 1의 방향은 $\displaystyle (-\sin\theta,\cos\theta)$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$이고 Q의 $\displaystyle y$좌표가 P보다 크므로$\displaystyle \mathrm Q=\left(\tan\theta-\sin\theta,\frac12\tan^2\theta+\cos\theta\right).$$\displaystyle \cos\theta>0$이므로$\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt{1+t^2}},\qquad\sin\theta=\frac t{\sqrt{1+t^2}}.$따라서 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle \boxed{f(t)=t-\frac t{\sqrt{1+t^2}},\qquad g(t)=\frac{t^2}2+\frac1{\sqrt{1+t^2}}}.$

[2-2]점 Q의 좌표를 $\displaystyle \theta$로 미분하면$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\sec^2\theta-\cos\theta,$$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=\tan\theta\sec^2\theta-\sin\theta=\tan\theta(\sec^2\theta-\cos\theta).$$\displaystyle t\ne0$이면 $\displaystyle \theta\ne0$이고 $\displaystyle \sec^2\theta-\cos\theta>0$이므로$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\tan\theta=t.$따라서 Q에서의 접선은$\displaystyle y-g(t)=t\{x-f(t)\}.$이를 정리하면$\displaystyle y=tx-\frac{t^2}2+\sqrt{1+t^2}.$포물선 $\displaystyle y=\frac12x^2$과 연립하여$\displaystyle (x-t)^2=2\sqrt{1+t^2}.$두 교점 A, B의 $\displaystyle x$좌표 차이는 $\displaystyle 2\sqrt2(1+t^2)^{1/4}$이고,두 점을 잇는 직선의 기울기는 $\displaystyle t$이므로$\displaystyle l(t)=2\sqrt2(1+t^2)^{1/4}\sqrt{1+t^2}=2\sqrt2(1+t^2)^{3/4}.$따라서$\displaystyle \boxed{\lim_{t\to\infty}\frac{l(t)}{t\sqrt t}=2\sqrt2\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1{t^2}\right)^{3/4}=2\sqrt2}.$

[2-3][2-2]에서 얻은 $\displaystyle \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}=t$에 의하여, 적분 구간에서$\displaystyle \frac{g^{\prime}(t)}t=f^{\prime}(t).$따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\sqrt3}^{2\sqrt2}\frac1t f(t)g^{\prime}(t)\,dt&=\int_{\sqrt3}^{2\sqrt2}f(t)f^{\prime}(t)\,dt\\&=\Biggl[\frac12\{f(t)\}^2\Biggr]_{\sqrt3}^{2\sqrt2}.\end{aligned}$$\displaystyle f(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}2$, $\displaystyle f(2\sqrt2)=\frac{4\sqrt2}3$이므로$\displaystyle \boxed{\frac12\left\{\left(\frac{4\sqrt2}3\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2\right\}=\frac{101}{72}}.$