자연계열 3번

[3-1]점 G에서 평면 ABC에 내린 수선의 발 G′는 선분 AC 위의 점이다.

삼각형 BCG′에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{BG}^{\prime}}$는$\displaystyle \overline{\mathrm{BG}^{\prime}}^2=4^2+1^2-2\times4\times1\times\cos60^\circ=16+1-4=13$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BG}^{\prime}}=\sqrt{13}$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}^{\prime}}:\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm H}=t:1\;(t>0),\;\overline{\mathrm G^{\prime}\mathrm P^{\prime}}:\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm B}=m:1\;(m>0)$이라 하자.$\displaystyle \overline{\mathrm{BG}^{\prime}}=\sqrt{13},\;\overline{\mathrm{AH}}=\frac{\sqrt3}2\times4=2\sqrt3$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm H}=\frac{2\sqrt3}{t+1},\;\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm B}=\frac{\sqrt{13}}{m+1}$삼각형 BHP′은 $\displaystyle \angle\mathrm{BHP}^{\prime}=90^\circ$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm P^{\prime}\mathrm{BH})=\frac2{\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm B}}=\frac2{\dfrac{\sqrt{13}}{m+1}}=\frac{2\sqrt{13}(m+1)}{13}$삼각형 BCG′에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BG}^{\prime}}=\sqrt{13},\;\overline{\mathrm{BC}}=4,\;\overline{\mathrm{CG}^{\prime}}=1$이므로 코사인법칙에 의해$\displaystyle \cos(\angle\mathrm G^{\prime}\mathrm{BC})=\frac{(\sqrt{13})^2+4^2-1^2}{2\times\sqrt{13}\times4}=\frac{7\sqrt{13}}{26}$이다.$\displaystyle \cos(\angle\mathrm P^{\prime}\mathrm{BH})=\cos(\angle\mathrm G^{\prime}\mathrm{BC})$이므로 $\displaystyle \frac{2\sqrt{13}(m+1)}{13}=\frac{7\sqrt{13}}{26}$에서$\displaystyle m=\frac34$이고 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm P^{\prime}\mathrm{BH})=\frac{7\sqrt{13}}{26}$이다.$\displaystyle \sin(\angle\mathrm P^{\prime}\mathrm{BH})=\sqrt{1-\cos^2(\angle\mathrm P^{\prime}\mathrm{BH})}=\sqrt{1-\left(\frac{7\sqrt{13}}{26}\right)^2}=\frac{\sqrt{39}}{26}$삼각형 BHP′은 $\displaystyle \angle\mathrm{BHP}^{\prime}=90^\circ$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \sin(\angle\mathrm P^{\prime}\mathrm{BH})=\frac{\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm H}}{\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm B}}=\frac{\dfrac{2\sqrt3}{t+1}}{\dfrac{4\sqrt{13}}7}=\frac{7\sqrt{39}}{26(t+1)}$

이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{26}=\frac{7\sqrt{39}}{26(t+1)}$에서 $\displaystyle t=6$이다.

[3-2]두 점 P, Q는 각각 선분 BG, 선분 HI 위의 점이므로 두 점 P, Q에서 평면 ABC에 내린 수선의 발은 점 P′이다.즉, 직선 PQ와 평면 EGI의 교점은 선분 EG 위에 있으므로 삼각형 EGI 내부의 점 R은 직선 PQ 위의 점이 아니다.삼각형 EGI 내부의 점 R에서 직선 PQ까지의 거리를 $\displaystyle r\;(r>0)$라 하면 삼각형 PQR은 밑변의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{26}7$이고높이가 $\displaystyle r$인 삼각형이다. 즉, 삼각형 PQR의 넓이는 $\displaystyle \frac{26}7\times r\times\frac12=\frac{13}7r$이고 $\displaystyle \frac{13}7r=\frac{13}7$에서 $\displaystyle r=1$점 R이 나타내는 도형은 삼각형 EGI 내부의 점 중에서 직선 PQ까지의 거리가 1인 점들이 나타내는 도형이다.

한편 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}^{\prime}}:\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm H}=6:1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}^{\prime}}=\frac67\times2\sqrt3=\frac{12\sqrt3}7$이다.점 P′에서 직선 AC에 내린 수선의 발을 J라 하면 $\displaystyle \angle\mathrm P^{\prime}\mathrm{AJ}=30^\circ$이고 직선 AP′는 $\displaystyle \angle\mathrm{CAB}$의 이등분선이므로 점 P′에서 두 직선 AB, AC까지의 거리는 모두 선분 P′J의 길이와 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm J}=\overline{\mathrm{AP}^{\prime}}\times\sin30^\circ=\frac{12\sqrt3}7\times\frac12=\frac{6\sqrt3}7$이고 $\displaystyle \frac{6\sqrt3}7=\frac{\sqrt{108}}7>\frac{\sqrt{49}}7=1$이므로 삼각형 EGI내부의 점 R에 대하여 삼각형 PQR의 넓이가 $\displaystyle \frac{13}7$이 되도록 하는 모든 점 R이 나타내는 도형을 $\displaystyle D$라 하면 도형 $\displaystyle D$의 평면 ABC 위로의 정사영은 중심이 P′이고 반지름의 길이가 1이며 삼각형 ABG′ 내부에 있는 반원이다.

도형 $\displaystyle D$와 선분 EG로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle S$라 하고, 평면 EGI와 평면 ABC가 이루는 각의 크기를$\displaystyle \theta\;(0^\circ\le\theta\le90^\circ)$라 하면 $\displaystyle S\times\cos\theta=\frac\pi2$이다.한편 삼각형 PBP′와 삼각형 GBG′는 서로 닮음이고 닮음비는 $\displaystyle 4:7$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}=8\times\frac47=\frac{32}7$이고삼각형 QHP′와 삼각형 IHA는 서로 닮음이고 닮음비는 $\displaystyle 1:7$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}^{\prime}}=\frac17\overline{\mathrm{AI}}$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{PP}^{\prime}}-\overline{\mathrm{QP}^{\prime}}=\frac17(32-\overline{\mathrm{AI}})=\frac{26}7$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AI}}=6$이다.삼각형 EGI에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{GI}}=\sqrt{\overline{\mathrm{DG}}^2+\overline{\mathrm{DI}}^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13},\;\overline{\mathrm{EI}}=\sqrt{\overline{\mathrm{DE}}^2+\overline{\mathrm{DI}}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$,$\displaystyle \overline{\mathrm{GE}}=\sqrt{13}$이므로 삼각형 EGI는 $\displaystyle \overline{\mathrm{GI}}=\overline{\mathrm{GE}}=\sqrt{13}$인 이등변삼각형이고 선분 EI를 밑변이라 하면높이는 $\displaystyle \sqrt{(\sqrt{13})^2-(\sqrt5)^2}=2\sqrt2$이므로 삼각형 EGI의 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt5\times2\sqrt2\times\frac12=2\sqrt{10}$이다.삼각형 EGI의 평면 ABC 위로의 정사영은 삼각형 BG′A이고 그 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}4\times4^2\times\frac34=3\sqrt3$이므로$\displaystyle 2\sqrt{10}\times\cos\theta=3\sqrt3$에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{3\sqrt{30}}{20}$

따라서 $\displaystyle S\times\frac{3\sqrt{30}}{20}=\frac\pi2$에서 $\displaystyle S=\frac{\sqrt{30}\pi}9$이다.