자연계열 2번

[2-1]곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,f(t))$를 지나고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선과 수직인 직선의 방정식은$\displaystyle t=-\frac{p}{2}$일 때, $\displaystyle x=-\frac{p}{2}$이고 이때, $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle g(t)=-\frac{p}{2}$이다.$\displaystyle t\ne-\frac{p}{2}$일 때, $\displaystyle y=-\frac{1}{2t+p}(x-t)+t^{2}+pt+\frac{1}{2}p-\frac{1}{2}$이고 이때 $\displaystyle g(t)$는$\displaystyle g(t)=t+(2t+p)\left(t^{2}+pt+\frac{1}{2}p-\frac{1}{2}\right)=2t^{3}+3pt^{2}+(p^{2}+p)t+\frac{1}{2}p^{2}-\frac{1}{2}p$이다.그러므로 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g(t)=2t^{3}+3pt^{2}+(p^{2}+p)t+\frac{1}{2}p^{2}-\frac{1}{2}p$이다.

$\displaystyle n(A_{k})=2$를 만족시키는 $\displaystyle k$가 존재하기 위해서는 $\displaystyle g(t)$가 극값을 가져야 하고, $\displaystyle g(k)$가 극값이 될 때 $\displaystyle n(A_{k})=2$가 된다.$\displaystyle g^{\prime}(t)=6t^{2}+6pt+p^{2}+p$이고, $\displaystyle g(t)$가 극값을 갖기 위해서는 $\displaystyle g^{\prime}(t)=0$가 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.$\displaystyle \frac{D}{4}=9p^{2}-6(p^{2}+p)>0$$\displaystyle 3p(p-2)>0$$\displaystyle p<0$ 또는 $\displaystyle p>2$$\displaystyle p$는 자연수이므로 $\displaystyle p>2$이고, 최소의 자연수 $\displaystyle p_{1}$은 3이다.

$\displaystyle p=3$일 때 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle g(t)=2t^{3}+9t^{2}+12t+3$이고, $\displaystyle g^{\prime}(t)=6t^{2}+18t+12=6(t+1)(t+2)$이므로극값은 $\displaystyle t=-1$일 때 $\displaystyle g(-1)=-2$, $\displaystyle t=-2$일 때, $\displaystyle g(-2)=-1$이다.

$\displaystyle g(t)=-2$에서 $\displaystyle 2t^{3}+9t^{2}+12t+3=-2$$\displaystyle 2t^{3}+9t^{2}+12t+5=0$$\displaystyle (t+1)^{2}(2t+5)=0$그러므로 $\displaystyle g(t)=-2$를 만족시키는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle t=-1$ 또는 $\displaystyle t=-\frac{5}{2}$이다.$\displaystyle g(t)=-1$에서 $\displaystyle 2t^{3}+9t^{2}+12t+3=-1$$\displaystyle 2t^{3}+9t^{2}+12t+4=0$$\displaystyle (t+2)^{2}(2t+1)=0$그러므로 $\displaystyle g(t)=-1$을 만족시키는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle t=-2$ 또는 $\displaystyle t=-\frac{1}{2}$이다.따라서 구하는 모든 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle -\frac{5}{2},\ -2,\ -1,\ -\frac{1}{2}$이고, 모든 $\displaystyle k$의 값의 합은 $\displaystyle -6$이다.

[2-2]함수 $\displaystyle f(x)=x^{2}+x-7$에 대하여 $\displaystyle g(t)$는$\displaystyle g(t)=2t^{3}+3t^{2}-12t-7$이다.$\displaystyle g(t)=g(k)$에서 $\displaystyle 2t^{3}+3t^{2}-12t-7=2k^{3}+3k^{2}-12k-7$$\displaystyle 2(t^{3}-k^{3})+3(t^{2}-k^{2})-12(t-k)=0$$\displaystyle (t-k)(2t^{2}+2kt+2k^{2}+3t+3k-12)=0$$\displaystyle (t-k)\{2t^{2}+(2k+3)t+2k^{2}+3k-12\}=0$$\displaystyle h(t)=2t^{2}+(2k+3)t+2k^{2}+3k-12$ 라 두면그림과 같이, $\displaystyle h(k)<0$가 되어야 한다.

$\displaystyle h(k)=2k^{2}+2k^{2}+3k+2k^{2}+3k-12=6k^{2}+6k-12=6(k+2)(k-1)<0$그러므로 $\displaystyle m_{k}<k<M_{k}$를 만족시키는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle -2<k<1$이다.

또한 $\displaystyle M_{k}$과 $\displaystyle m_{k}$는 $\displaystyle h(t)=2t^{2}+(2k+3)t+2k^{2}+3k-12=0$의 서로 다른 두 근이 된다.그러므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여$\displaystyle M_{k}+m_{k}=-\frac{2k+3}{2},\quad M_{k}m_{k}=\frac{2k^{2}+3k-12}{2}$이므로,$\displaystyle M_{k}^{2}+m_{k}^{2}=\frac{(2k+3)^{2}}{4}-2\times\frac{2k^{2}+3k-12}{2}=\frac{1}{4}(-4k^{2}+57)$이다.

따라서 $\displaystyle -2<k<1$에서 $\displaystyle M_{k}^{2}+m_{k}^{2}$의 최댓값은 $\displaystyle k=0$일 때 $\displaystyle \frac{57}{4}$이다.