의·약학계 2번

[2-1]$\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle (e^x-e^2)\left(e^x-\frac1e\right)=0$의 해가 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=2$이고$\displaystyle g^{\prime}(x)=2e^{2x}-\left(e^2+\frac1e\right)e^x$에 대해 $\displaystyle g^{\prime}(-1)\ne0,\;g^{\prime}(2)\ne0$이므로 함수 $\displaystyle |g(x)|$는 $\displaystyle x=-1$과 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하지 않지만 조건 (가)에서 함수 $\displaystyle f(|g(x)|)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $\displaystyle f(|g(x)|)$는 $\displaystyle x=-1$과 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하다.함수 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하고 $\displaystyle g(-1)=g(2)=0$이므로 $\displaystyle x=2$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(|g(x)|)-f(|g(2)|)}{x-2}$는$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to2-}\frac{f(|g(x)|)-f(|g(2)|)}{x-2}&=\lim_{x\to2-}\frac{f(-g(x))-f(0)}{x-2}\\&=\lim_{x\to2-}\left(\frac{f(-g(x))-f(0)}{-g(x)+g(2)}\times\frac{-g(x)+g(2)}{x-2}\right)\\&=f^{\prime}(0)\times(-g^{\prime}(2))\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to2+}\frac{f(|g(x)|)-f(|g(2)|)}{x-2}&=\lim_{x\to2+}\frac{f(g(x))-f(0)}{x-2}\\&=\lim_{x\to2+}\left(\frac{f(g(x))-f(0)}{g(x)-g(2)}\times\frac{g(x)-g(2)}{x-2}\right)\\&=f^{\prime}(0)\times g^{\prime}(2)\end{aligned}$좌극한과 우극한이 같으므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이다.또한, $\displaystyle x=-1$일 때도 같은 방법으로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이다.그러므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\{ax^2+(2a+b)x+b\}e^x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(0)=b=0$따라서 $\displaystyle f(x)=ax^2e^x$이다.

한편, 함수 $\displaystyle |g(x)|$가 $\displaystyle x=-1$과 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하지 않고 함수 $\displaystyle |g(f(x))|$가 $\displaystyle x=\alpha$에서 미분가능하지 않으므로 $\displaystyle f(\alpha)=-1$ 또는 $\displaystyle f(\alpha)=2$이다.(i) $\displaystyle f(\alpha)=-1$일 때, $\displaystyle \alpha^2e^\alpha>0$이므로 $\displaystyle a<0$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=a(x^2+2x)e^x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=0$이다.

실수 전체의 집합에서 $\displaystyle f(x)\le0$이고, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\;\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$이므로 $\displaystyle f(\alpha)=-1$인 양수 $\displaystyle \alpha$가 반드시 존재하고, 그래프 개형에서 $\displaystyle f(\alpha)=2$인 경우는 나타나지 않는다.그러므로 극솟값의 범위가 $\displaystyle -1\le4ae^{-2}<0$이므로 $\displaystyle -\frac{e^2}4\le a<0$이다.

(ii) $\displaystyle f(\alpha)=2$일 때, $\displaystyle \alpha^2e^\alpha>0$이므로 $\displaystyle a>0$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=a(x^2+2x)e^x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=0$이다.

실수 전체의 집합에서 $\displaystyle f(x)\ge0$이고, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\;\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$이므로 $\displaystyle f(\alpha)=2$인 양수 $\displaystyle \alpha$가 반드시 존재하고, 그래프 개형에서 $\displaystyle f(\alpha)=-1$인 경우는 나타나지 않는다. 그러므로 극댓값의 범위가 $\displaystyle 0<4ae^{-2}\le2$이므로 $\displaystyle 0<a\le\frac{e^2}2$이다.(i), (ii)의 $\displaystyle a$의 값의 범위는 $\displaystyle -\frac{e^2}4\le a<0$ 또는 $\displaystyle 0<a\le\frac{e^2}2$이다.

한편, $\displaystyle |g(f(-2))|$는$\displaystyle |g(f(-2))|=\left|\left(e^{4ae^{-2}}-e^2\right)\left(e^{4ae^{-2}}-\frac1e\right)\right|\quad\left(-\frac{e^2}4\le a<0\text{ 또는 }0<a\le\frac{e^2}2\right)$이므로 $\displaystyle s=f(-2)=4ae^{-2}$라 하면함수 $\displaystyle g(s)=(e^s-e^2)\left(e^s-\frac1e\right)\;(-1\le s<0\text{ 또는 }0<s\le2)$에서$\displaystyle g^{\prime}(s)=2e^{2s}-\left(e^2+\frac1e\right)e^s=0,\quad e^s=\frac{e^2}2+\frac1{2e}$이다.

따라서 $\displaystyle |g(f(-2))|$는 $\displaystyle s=\ln\left(\frac{e^2}2+\frac1{2e}\right)(=4ae^{-2})$에서 최댓값 $\displaystyle p=\left(\frac{e^2}2-\frac1{2e}\right)^2$을 갖는다.

[2-2]$\displaystyle |g(f(-2))|=p$를 만족시키는 함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=ax^2e^x,\quad a=\frac14e^2\ln\left(\frac{e^2}2+\frac1{2e}\right)$이다.[2-1]에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$인 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle e^x=\frac{e^2}2+\frac1{2e}$이고$\displaystyle g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 또는 $\displaystyle e^{f(x)}=\frac{e^2}2+\frac1{2e}$이므로 구하는 실근은$\displaystyle x=-2\text{ 또는 }x=0$또는 $\displaystyle f(x)=\ln\left(\frac{e^2}2+\frac1{2e}\right)=4ae^{-2}$ ⋯⋯ ①이다.

구간 $\displaystyle (-\infty,-2]\cup[0,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가하고, 구간 $\displaystyle [-2,0]$에서 감소하므로 ①을 만족시키는 $\displaystyle x$의 값을 $\displaystyle \beta\;(\beta>0)$라 하면 $\displaystyle f(\beta)=f(-2)=4ae^{-2}$이다.$\displaystyle g(f(-2))=g(f(\beta))=-p$이므로 함수 $\displaystyle g(f(x))$의 증감표는 다음과 같다.

$\displaystyle x\to-\infty$일 때, $\displaystyle f(x)\to0+$이고, 실수 전체의 집합에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(f(x))=\lim_{i\to0+}g(i)=g(0)=(1-e^2)\left(1-\frac1e\right)<0$따라서 직선 $\displaystyle y=g(0)$이 $\displaystyle y=g(f(x))$의 점근선이다.

위의 증감표에 따라 함수 $\displaystyle |g(f(x))|$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 구하는 함수 $\displaystyle h(t)=\begin{cases}0&(t<0)\\1&(t=0\text{ 또는 }t>p)\\2&(0<t<|g(0)|)\\3&(t=|g(0)|\text{ 또는 }t=p)\\5&(|g(0)|<t<p)\end{cases}$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to p+}h(t)+\lim_{t\to p-}h(t)+h(g(0))=1+5+0=6$이다.