자연계열 3번

$\displaystyle \angle\mathrm A_0\mathrm O\mathrm A_1=\frac\pi3$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_0\mathrm O\mathrm A_1$은 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm A_0\mathrm A_1}=1$ ⋯⋯ ①

선분 $\displaystyle \mathrm A_0\mathrm A_1$의 중점을 $\displaystyle \mathrm C_1$, 넓이가 $\displaystyle T_1$인 직사각형이 선분 $\displaystyle \mathrm B_0\mathrm B_1$과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm D_1$이라 하면$\displaystyle \angle\mathrm A_0\mathrm O\mathrm C_1=\angle\mathrm B_0\mathrm A_0\mathrm D_1$이므로$\displaystyle \angle\mathrm B_0\mathrm A_0\mathrm D_1=\frac12\times\frac\pi3=\frac\pi6$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm A_0\mathrm D_1}\cos\frac\pi6=\overline{\mathrm A_0\mathrm B_0}$에서$\displaystyle \overline{\mathrm A_0\mathrm D_1}=\frac1{\cos\frac\pi6}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3$ ⋯⋯ ②

①, ②에 의하여 $\displaystyle S_1=T_1=1\times\frac{2\sqrt3}3=\frac{2\sqrt3}3$이다.

선분 $\displaystyle \mathrm A_{k-1}\mathrm A_k$의 중점을 $\displaystyle \mathrm C_k$라 하자. $\displaystyle \angle\mathrm A_{k-1}\mathrm O\mathrm C_k=\delta$라 하면 $\displaystyle \angle\mathrm A_{k-1}\mathrm O\mathrm A_k=\frac\pi{3n}$이므로 $\displaystyle \delta=\frac\pi{6n}$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm O\mathrm A_{k-1}}=1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm A_{k-1}\mathrm C_k}=\sin\delta$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm A_{k-1}\mathrm A_k}=2\sin\delta$ ⋯⋯ ③$\displaystyle \angle\mathrm A_0\mathrm O\mathrm A_k=t_k$라 하면 $\displaystyle t_k=\frac k{3n}$이고, $\displaystyle \angle\mathrm A_0\mathrm O\mathrm C_k=\theta_k$라 하면, $\displaystyle t_{k-1}=\theta_k-\delta$이다.Correction. $\displaystyle t_k=\frac{k}{3n}$에서 $\displaystyle \pi$가 빠졌다. $\displaystyle t_k=\frac{k\pi}{3n}$이 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

한편, 넓이가 $\displaystyle T_k$인 직사각형이 선분 $\displaystyle \mathrm B_{k-1}\mathrm B_k$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm D_k$라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm A_{k-1}\mathrm D_k}\cos\theta_k=2-\cos t_{k-1}$에서$\displaystyle \overline{\mathrm A_{k-1}\mathrm D_k}=\frac{2-\cos t_{k-1}}{\cos\theta_k}=\frac{2-\cos(\theta_k-\delta)}{\cos\theta_k}=2\sec\theta_k-\frac{\cos\theta_k\cos\delta+\sin\theta_k\sin\delta}{\cos\theta_k}$ ⋯⋯ ④

③, ④에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}T_k&=2\sin\delta\left(2\sec\theta_k-\frac{\cos\theta_k\cos\delta+\sin\theta_k\sin\delta}{\cos\theta_k}\right)\\&=2\sin\delta(2\sec\theta_k-\cos\delta-\sin\delta\tan\theta_k)\end{aligned}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\{2\sin\delta(2\sec\theta_k-\cos\delta-\sin\delta\tan\theta_k)\}\\&=4\sin\delta\sum_{k=1}^n\sec\theta_k-2n\sin\delta\cos\delta-2\sin^2\delta\sum_{k=1}^n\tan\theta_k\end{aligned}$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$의 값을 항별로 나누어 구하자.

(i) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}4\sin\delta\sum_{k=1}^n\sec\theta_k$의 값을 구하면함수 $\displaystyle y=\sec x$는 $\displaystyle 0<x<\frac\pi3$에서 증가하므로$\displaystyle \sum_{k=1}^n\sec\frac{(2k-2)\pi}{6n}\le\sum_{k=1}^n\sec\frac{(2k-1)\pi}{6n}\le\sum_{k=1}^n\sec\frac{2k\pi}{6n}$에서$\displaystyle 4\sin\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\sec\frac{(2k-2)\pi}{6n}\le4\sin\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\sec\frac{(2k-1)\pi}{6n}\le4\sin\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\sec\frac{2k\pi}{6n}$ ⋯⋯ ⑤그런데 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}4\sin\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\sec\frac{(2k-2)\pi}{6n}=\lim_{n\to\infty}2\frac{\sin\frac\pi{6n}}{\frac\pi{6n}}\sum_{k=1}^n\sec\frac{(k-1)\pi}{3n}\times\frac\pi{3n}$이고,함수 $\displaystyle y=\sec x$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi3\right]$에서 연속이므로 $\displaystyle x_k=\frac{(k-1)\pi}{3n},\;\Delta x=\frac\pi{3n}$로 놓으면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2\sin\frac\pi{6n}}{\frac\pi{6n}}\sum_{k=1}^n\sec\frac{(k-1)\pi}{3n}\times\frac\pi{3n}=2\int_0^{\frac\pi3}\sec x\,dx$ ⋯⋯ ⑥또한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}4\sin\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\sec\frac{2k\pi}{6n}=\lim_{n\to\infty}2\frac{\sin\frac\pi{6n}}{\frac\pi{6n}}\sum_{k=1}^n\sec\frac{k\pi}{3n}\times\frac\pi{3n}$이고함수 $\displaystyle y=\sec x$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi3\right]$에서 연속이므로 $\displaystyle x_k=\frac{k\pi}{3n},\;\Delta x=\frac\pi{3n}$로 놓으면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2\sin\frac\pi{6n}}{\frac\pi{6n}}\sum_{k=1}^n\sec\frac{k\pi}{3n}\times\frac\pi{3n}=2\int_0^{\frac\pi3}\sec x\,dx$ ⋯⋯ ⑦이므로 ⑤, ⑥, ⑦에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}4\sin\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\sec\frac{(2k-1)\pi}{6n}=2\int_0^{\frac\pi3}\sec x\,dx$

(ii) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(2n\sin\delta\cos\delta)$의 값을 구하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(2n\sin\frac\pi{6n}\cos\frac\pi{6n}\right)=\frac\pi3\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac\pi{6n}}{\frac\pi{6n}}\times\cos\frac\pi{6n}\right)=\frac\pi3$

(iii) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(2\sin^2\delta\sum_{k=1}^n\tan\theta_k\right)$의 값을 구하면$\displaystyle 0\le\tan\frac{(2k-1)\pi}{6n}\le\tan\frac\pi3=\sqrt3$이므로$\displaystyle 0\le\sum_{k=1}^n\tan\frac{(2k-1)\pi}{6n}\le\sqrt3n$$\displaystyle 0\le2\sin^2\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\tan\frac{(2k-1)\pi}{6n}\le2\sqrt3n\sin^2\frac\pi{6n}$이고,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(2\sqrt3n\sin^2\frac\pi{6n}\right)=\lim_{n\to\infty}2\sqrt3\left(\frac{\sin\frac\pi{6n}}{\frac\pi{6n}}\right)^2\left(\frac\pi{6n}\right)^2n=0$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{2\sin^2\frac\pi{6n}\sum_{k=1}^n\tan\frac{(2k-1)\pi}{6n}\right\}=0$

(i), (ii), (iii)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=2\int_0^{\frac\pi3}\sec x\,dx-\frac\pi3$이다.