의·약학계 3번

직선 NI와 두 직선 AB, AD와의 교점을 각각 S, T라 하자.또한 두 직선 SL과 TK가 만나는 점을 U라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AS}}=\overline{\mathrm{AT}}=\overline{\mathrm{AU}}=7$이다.이때 사각뿔 $\displaystyle \mathrm A-\mathrm{STU}$의 밑면은 한 변의 길이가 $\displaystyle 7\sqrt2$인 정삼각형이고, 옆면은 직각이등변삼각형이다.Correction. 밑면 STU가 삼각형이므로 “사각뿔”은 “삼각뿔”의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.사각형 KLNI은 삼각형 STU에 포함되므로 두 평면 PQR과 KLNI가 이루는 각은 두 평면 PQR과 STU가 이루는 각과 같다. 또한 두 평면 STU와 BDE는 서로 평행하고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{AQ}}:\overline{\mathrm{AR}}=1:3:3$인 조건만 만족하면 되므로 두 점 R, Q가 각각 B, E일 때, 두 평면 PQR과 DEB가 이루는 각을 구하면 된다.

선분 QR의 중점을 V라 하면 삼각형 PQR과 삼각형 BDE가 모두 이등변삼각형이므로 이면각의 정의에 의해 두 선분 PV와 DV가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$이다.이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac43$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}}=\frac83$이고, 삼각형 BDE는 한 변의 길이가 $\displaystyle 4\sqrt2$인 정삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DV}}=2\sqrt6$이다.또한 삼각형 PAV는 직각삼각형이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AV}}=2\sqrt2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PV}}=\frac{2\sqrt{22}}3$이다.

따라서 삼각형 PVD에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos\theta=\frac{24+\frac{88}9-\frac{64}9}{2\times2\sqrt6\times\frac{2\sqrt{22}}3}=\frac5{\sqrt{33}}=\frac{5\sqrt{33}}{33}$이다.

[3-2]점 A에서 삼각형 STU에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}$이라 하면, 점 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}$은 삼각형 STU의 무게중심이다. 이때 삼각형 PQR의 평면 STU 위로의 정사영을 삼각형 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}\mathrm Q^{\prime}\mathrm R^{\prime}$이라 하면, $\displaystyle \mathrm Q^{\prime}$과 $\displaystyle \mathrm R^{\prime}$은 각각 선분 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}\mathrm U$와 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}\mathrm S$ 위에 위치하며 점 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}$ 사이의 거리가 서로 같다. 또한 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}$은 선분 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}\mathrm T$ 위에 위치하며, $\displaystyle \overline{\mathrm A^{\prime}\mathrm P^{\prime}}:\overline{\mathrm A^{\prime}\mathrm R^{\prime}}=1:3$이므로, 조건을 만족하는 삼각형 PQR의 정사영의 넓이가 최대일 때는 선분 $\displaystyle \mathrm Q^{\prime}\mathrm R^{\prime}$의 점 $\displaystyle \mathrm Q^{\prime}$이 선분 KL 위의 점일 때 또는 점 $\displaystyle \mathrm R^{\prime}$이 선분 LN 위의 점일 때이다.

(i) 점 $\displaystyle \mathrm Q^{\prime}$이 선분 KL 위에 있을 때직선 KL과 직선 $\displaystyle \mathrm U\mathrm A^{\prime}$이 수직으로 만나므로 점 Q와 선분 $\displaystyle \mathrm A\mathrm A^{\prime}$ 사이의 거리는 점 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}$과 직선 KL 사이의 거리와 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm U\mathrm A^{\prime}}=7\sqrt2\times\frac{\sqrt3}2\times\frac23=\frac{7\sqrt6}3$이고, 점 U와 직선 KL 사이의 거리는 삼각형 ULK가 정삼각형이므로$\displaystyle 3\sqrt2\times\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt6}2$이다. 그러므로 점 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}$와 직선 KL 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{7\sqrt6}3-\frac{3\sqrt6}2=\frac{5\sqrt6}6$이다. ⋯⋯①

이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=k$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=3k$이고 점 Q에서 선분 $\displaystyle \mathrm A\mathrm A^{\prime}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm Q^{\prime\prime}$라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AQ}\mathrm Q^{\prime\prime}$은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AU}\mathrm A^{\prime}$과 닮음이다. 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AU}}:\overline{\mathrm U\mathrm A^{\prime}}=7:\frac{7\sqrt6}3=3:\sqrt6$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}:\overline{\mathrm Q\mathrm Q^{\prime\prime}}=3k:\sqrt6k$이다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm Q\mathrm Q^{\prime\prime}}=\sqrt6k$이다. ⋯⋯②①, ②에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm Q\mathrm Q^{\prime\prime}}=\sqrt6k=\frac{5\sqrt6}6$이므로 $\displaystyle k=\frac56$이다.

(ii) 점 $\displaystyle \mathrm R^{\prime}$이 선분 LN 위에 있을 때점 $\displaystyle \mathrm R^{\prime}$이 선분 LN 위에 있을 때, 선분 $\displaystyle \mathrm S\mathrm A^{\prime}$과 선분 LN의 교점이 된다.

선분 $\displaystyle \mathrm S\mathrm R^{\prime}$은 각 NSL의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm N\mathrm R^{\prime}:\mathrm R^{\prime}\mathrm L=3:4$이다.또한 $\displaystyle \overline{\mathrm{LF}}=1,\;\overline{\mathrm{FB}}=4,\;\overline{\mathrm{BN}}=3$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{NL}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}$이다.

그러므로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{NS}\mathrm R^{\prime}$과 $\displaystyle \mathrm{LS}\mathrm R^{\prime}$에서 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \frac{18+\overline{\mathrm S\mathrm R^{\prime}}^2-\left(\frac{3\sqrt{26}}7\right)^2}{2\times3\sqrt2\times\overline{\mathrm S\mathrm R^{\prime}}}=\frac{32+\overline{\mathrm S\mathrm R^{\prime}}^2-\left(\frac{4\sqrt{26}}7\right)^2}{2\times4\sqrt2\times\overline{\mathrm S\mathrm R^{\prime}}}$$\displaystyle 72+4\overline{\mathrm S\mathrm R^{\prime}}^2-4\times\frac9{49}\times26=96+3\overline{\mathrm S\mathrm R^{\prime}}^2-3\times\frac{16}{49}\times26$$\displaystyle \overline{\mathrm S\mathrm R^{\prime}}=\frac{12\sqrt6}7$그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm A^{\prime}\mathrm R^{\prime}}=\frac{7\sqrt6}3-\frac{12\sqrt6}7=\frac{13}{21}\sqrt6$이다. ⋯⋯③이때 점 R에서 직선 $\displaystyle \mathrm A\mathrm A^{\prime}$에 이르는 거리와 점 Q에서 직선 $\displaystyle \mathrm A\mathrm A^{\prime}$에 이르는 거리는 같으므로 ②, ③에 의하여 $\displaystyle k=\frac{13}{21}$

(i)이 성립하는 경우 (ii)에 의하여 삼각형 PQR의 평면 IJKLMN 위로의 정사영이 사각형 KLNI을 벗어나므로, 주어진 조건을 만족시키며 정사영의 넓이가 최대가 되게 하는 경우는 (ii)가 된다.따라서 조건을 만족시키는 선분 AP의 길이는 $\displaystyle \frac{13}{21}$이다.