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자연계열 A 1번

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세종대 2019학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2019su/jayeona_1

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문제

[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

(1-1) 동전을 던질 때 앞면이 나오는 비율이 p\displaystyle p인 구부러진 동전이 있다. 이 동전을 72번 던져 앞면이 24번 나왔을 때, 앞면이 나오는 비율 p\displaystyle p에 대하여 신뢰도 95%의 신뢰구간은 s≤p≤t\displaystyle s\le p\le t이다. s\displaystyle s와 t\displaystyle t를 분수로 나타내시오. (단, Z\displaystyle Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤1.96)=0.95\displaystyle \mathrm P(|Z|\le1.96)=0.95로 계산한다.) (60점)

(1-2)와 (1-3)은 다음을 읽고 답하시오.

상자 안에 1부터 n(n≥4)\displaystyle n(n\ge4)까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 n\displaystyle n장의 카드가 있다. 이 상자에서 카드 4장을 임의추출할 때, 뽑힌 카드에 적힌 숫자들 중에서 제일 큰 수를 확률변수 X\displaystyle X라 하고 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm E(X)를 a\displaystyle a라 하자.

(1-2) X\displaystyle X의 확률질량함수를 구하시오. (60점)

(1-3) n\displaystyle n장의 카드가 담겨 있는 이 상자에 n+1\displaystyle n+1이 적힌 카드 한 장을 추가한 후 카드 4장을 임의추출한다. 이때 뽑힌 카드에 적힌 숫자들 중 제일 큰 수를 확률변수 Y\displaystyle Y라 하고 기댓값 E(Y)\displaystyle \mathrm E(Y)를 b\displaystyle b라 하자. b\displaystyle b를 a\displaystyle a의 식으로 나타내시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2019학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2019su/jayeona_1

[문제 1]

20점 · 다음 중 하나라도 쓰면 (20점, 단 72대신 정의없이 n\displaystyle n을 사용하면 10점) 1) p^−pp(1−p)72\displaystyle \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{72}}}는 표준정규분포 2) X\displaystyle X가 이항분포 B(72,p)\displaystyle B(72,p) 3) p^\displaystyle \hat p은 N(p,p(1−p)72)\displaystyle N\left(p,\frac{p(1-p)}{72}\right)를 따른다. 4) 루트 안이 틀렸지만 2472±1.96⋯\displaystyle \frac{24}{72}\pm1.96\sqrt{\cdots}의 구조가 있으면

(1-1) 동전을 72번 던질 때 앞면이 나온 횟수를 X\displaystyle X라 하면 X\displaystyle X는 이항분포 B(72,p)\displaystyle B(72,p)를 따른다. p^−pp(1−p)72\displaystyle \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{72}}}는 근사적으로 표준정규분포 N(0,1)\displaystyle N(0,1)을 따르고 p^=2472=13\displaystyle \hat p=\frac{24}{72}=\frac13이다.

45점 · 2472±13×2372×1.96\displaystyle \frac{24}{72}\pm\sqrt{\frac{\frac13\times\frac23}{72}}\times1.96

p\displaystyle p의 95%의 신뢰구간 : 2472±13×2372×1.96=13±1.96×118\displaystyle \frac{24}{72}\pm\sqrt{\frac{\frac13\times\frac23}{72}}\times1.96=\frac13\pm1.96\times\frac1{18} ==> 101450≤p≤199450\displaystyle \frac{101}{450}\le p\le\frac{199}{450}

60점 · 옳은 풀이과정이 있고 답 s=101450\displaystyle s=\frac{101}{450}, t=199450\displaystyle t=\frac{199}{450}가 맞으면

그러므로 s=101450\displaystyle s=\frac{101}{450}, t=199450\displaystyle t=\frac{199}{450}이다.

+45점 · k−1C3nC4\displaystyle \frac{{}_{k-1}\mathrm C_3}{{}_n\mathrm C_4} 또는 4(k−1)(k−2)(k−3)n(n−1)(n−2)(n−3)\displaystyle \frac{4(k-1)(k-2)(k-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}
+15점 · (k=4,5,⋯ ,n)\displaystyle (k=4,5,\cdots,n)

(1-2) P(X=k)=k−1C3nC4=4(k−1)(k−2)(k−3)n(n−1)(n−2)(n−3)(k=4,5,⋯ ,n)\displaystyle \mathrm P(X=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm C_3}{{}_n\mathrm C_4}=\frac{4(k-1)(k-2)(k-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}\quad(k=4,5,\cdots,n)

+10점 · P(Y=k)=k−1C3n+1C4\displaystyle \mathrm P(Y=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm C_3}{{}_{n+1}\mathrm C_4}

(1-3) P(Y=k)=k−1C3n+1C4(k=4,5,⋯ ,n+1)\displaystyle \mathrm P(Y=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm C_3}{{}_{n+1}\mathrm C_4}\quad(k=4,5,\cdots,n+1)이고

+20점 · 4≤k≤n\displaystyle 4\le k\le n일 때 P(Y=k)=P(X=k)×n−3n+1\displaystyle \mathrm P(Y=k)=\mathrm P(X=k)\times\frac{n-3}{n+1}

4≤k≤n\displaystyle 4\le k\le n일 때 P(Y=k)=P(X=k)×n−3n+1\displaystyle \mathrm P(Y=k)=\mathrm P(X=k)\times\frac{n-3}{n+1}이다.

+10점 · b=∑k=4n+1kP(Y=k)\displaystyle b=\sum_{k=4}^{n+1}k\mathrm P(Y=k) (+10점, 단 k\displaystyle k의 범위가 틀리면 +5점)
60점 · 옳은 풀이과정이 있고 b=n−3n+1a+4\displaystyle b=\frac{n-3}{n+1}a+4가 맞으면

b=∑k=4n+1kP(Y=k)=∑k=4nkP(Y=k)+(n+1)P(Y=n+1)=∑k=4nkP(X=k)n−3n+1+(n+1)4n+1=n−3n+1a+4\displaystyle \begin{aligned}b&=\sum_{k=4}^{n+1}k\mathrm P(Y=k)=\sum_{k=4}^nk\mathrm P(Y=k)+(n+1)\mathrm P(Y=n+1)\\&=\sum_{k=4}^nk\mathrm P(X=k)\frac{n-3}{n+1}+(n+1)\frac4{n+1}=\frac{n-3}{n+1}a+4\end{aligned}

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