자연계열 A 1번

(1-1) 동전을 72번 던질 때 앞면이 나온 횟수를 $\displaystyle X$라 하면 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(72,p)$를 따른다. $\displaystyle \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{72}}}$는 근사적으로 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$을 따르고 $\displaystyle \hat p=\frac{24}{72}=\frac13$이다.

$\displaystyle p$의 95%의 신뢰구간 : $\displaystyle \frac{24}{72}\pm\sqrt{\frac{\frac13\times\frac23}{72}}\times1.96=\frac13\pm1.96\times\frac1{18}$ ==> $\displaystyle \frac{101}{450}\le p\le\frac{199}{450}$

그러므로 $\displaystyle s=\frac{101}{450}$, $\displaystyle t=\frac{199}{450}$이다.

(1-2) $\displaystyle \mathrm P(X=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm C_3}{{}_n\mathrm C_4}=\frac{4(k-1)(k-2)(k-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}\quad(k=4,5,\cdots,n)$

(1-3) $\displaystyle \mathrm P(Y=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm C_3}{{}_{n+1}\mathrm C_4}\quad(k=4,5,\cdots,n+1)$이고

$\displaystyle 4\le k\le n$일 때 $\displaystyle \mathrm P(Y=k)=\mathrm P(X=k)\times\frac{n-3}{n+1}$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}b&=\sum_{k=4}^{n+1}k\mathrm P(Y=k)=\sum_{k=4}^nk\mathrm P(Y=k)+(n+1)\mathrm P(Y=n+1)\\&=\sum_{k=4}^nk\mathrm P(X=k)\frac{n-3}{n+1}+(n+1)\frac4{n+1}=\frac{n-3}{n+1}a+4\end{aligned}$