자연계열 A 3번

(3-1) 부분적분법을 이용하여 계산하면$\displaystyle \int_1^ef(t)\,dt=\Biggl[(\ln t+a)\frac{t^{n+1}}{n+1}\Biggr]_1^e-\int_1^e\frac{t^n}{n+1}\,dt=\frac{an+n+a}{(n+1)^2}e^{n+1}-\frac{(n+1)a-1}{(n+1)^2}$

이고 이 식을 조건 (가)와 비교하면 $\displaystyle \frac{(n+1)a-1}{(n+1)^2}=0$이다. 따라서 $\displaystyle a=\frac1{n+1}$이다.

(3-2) 도함수를 구하면 $\displaystyle f\prime(x)=(n\ln x+an+1)x^{n-1}$이다.

$\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle f\prime(1)=a+1<2a+1$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

$\displaystyle n\ge2$이면 $\displaystyle f\prime(1)=an+1\ge2a+1$이다. 또한 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서 함수 $\displaystyle n\ln x+an+1$과 $\displaystyle x^{n-1}$은 모두 양수인 함숫값을 갖는 증가함수이므로 이들의 곱인 $\displaystyle f\prime(x)=(n\ln x+an+1)x^{n-1}$는 증가함수이다.

따라서 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f\prime(x)\ge2a+1$이다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$의 범위는 $\displaystyle n\ge2$이다.

(3-3) 미적분의 기본 정리에 의하여 $\displaystyle F\prime(x)=f(x)=\left(\ln x+\frac1{n+1}\right)x^n$이고

$\displaystyle F\prime\prime(x)=f\prime(x)=x^{n-1}\left(1+n\ln x+\frac n{n+1}\right)$이므로

$\displaystyle F\prime\prime(1)=1+\frac n{n+1}=2-\frac1{n+1}\ (n\ge2)$이다. 따라서 $\displaystyle F\prime\prime(1)$은 $\displaystyle n=2$일 때 최솟값 $\displaystyle \frac53$를 갖는다.

(3-4) $\displaystyle x\ge1$일 때 $\displaystyle F\prime(x)=f(x)=\left(\ln x+\frac1{n+1}\right)x^n$이고$\displaystyle F\prime\prime(x)=f\prime(x)=x^{n-1}\left(1+n\ln x+\frac n{n+1}\right)>0$이므로

곡선 $\displaystyle y=F(x)$의 그래프는 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서 아래로 볼록하다. 따라서 $\displaystyle g(e)=me+b$의 최댓값은 직선 $\displaystyle y=g(x)$가 $\displaystyle x=e$인 점에서 곡선 $\displaystyle y=F(x)$에 접할 때이다. (아래 그림 참조)

그러므로 $\displaystyle g(e)$의 최댓값은$\displaystyle F(e)=\frac{e^{n+1}}{n+1}=\frac{e^4}4\qquad\cdots\cdots\text{(1)}$

이다. 식 (1)을 만족하는 2이상의 자연수 $\displaystyle n$을 구하면 되는데, 우선 $\displaystyle n=3$일 때 이 식이 성립하며, $\displaystyle h(x)=\frac{e^{x+1}}{x+1}\ (x\ge2)$이라 할 때 $\displaystyle h\prime(x)=\frac{xe^{x+1}}{(x+1)^2}>0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x\ge2$에서 증가함수이다. 따라서 식 (1)을 만족하는 2이상의 자연수 $\displaystyle n$은 3뿐이다.

$\displaystyle m$은 $\displaystyle x=e$일 때 곡선 $\displaystyle y=F(x)$에 접하는 직선의 기울기이므로$\displaystyle m=F\prime(e)=f(e)=\frac54e^3$이다.

그러므로 $\displaystyle g(x)=\frac54e^3(x-e)+\frac{e^4}4=\frac54e^3x-e^4$에서 $\displaystyle b=-e^4$이다.