자연계열 2번

[2.1] 아래 그림에서 높이 $\displaystyle h=\sqrt{5^2-x^2}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac hx=-\frac{\sqrt{25-x^2}}x$이다.

[2.2] $\displaystyle f(x)=\int f^{\prime}(x)\,dx=-\int\frac{\sqrt{25-x^2}}x\,dx$이다. 여기서, $\displaystyle u=\sqrt{25-x^2}$이라하면$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int\frac{u^2}{25-u^2}\,du=\int\left\{-1+\frac52\left(\frac1{5-u}+\frac1{5+u}\right)\right\}\,du\\&=-u+\frac52\ln\left|\frac{5+u}{5-u}\right|+C\\&=-\sqrt{25-x^2}+\frac52\ln\left|\frac{5+\sqrt{25-x^2}}{5-\sqrt{25-x^2}}\right|+C\end{aligned}$이다. 그런데 $\displaystyle f(5)=0$이므로 $\displaystyle C=0$이고,$\displaystyle f(x)=-\sqrt{25-x^2}+\frac52\ln\left|\frac{5+\sqrt{25-x^2}}{5-\sqrt{25-x^2}}\right|=-\sqrt{25-x^2}+5\ln\left|\frac{5+\sqrt{25-x^2}}x\right|$이다.

[2.3] 물체가 $\displaystyle (0,5\ln3)$에 위치할 때 카메라의 위치를 $\displaystyle (x,f(x))$라 하면, $\displaystyle h=5\ln3-f(x)$이므로$\displaystyle \sqrt{25-x^2}=5\ln3-\left\{-\sqrt{25-x^2}+5\ln\left|\frac{5+\sqrt{25-x^2}}x\right|\right\}$즉,$\displaystyle 5\ln3=5\ln\left|\frac{5+\sqrt{25-x^2}}x\right|$이다. 이 방정식을 풀면$\displaystyle \begin{aligned}3=\frac{5+\sqrt{25-x^2}}x&\Rightarrow3x-5=\sqrt{25-x^2}\\&\Rightarrow10x^2-30x=10x(x-3)=0\end{aligned}$인데 $\displaystyle x\neq0$이므로 $\displaystyle x=3$이다. 따라서 $\displaystyle x=3$에서 $\displaystyle x=5$까지 곡선 $\displaystyle f(x)$의 길이를 구하면 된다.$\displaystyle L=\int_3^5\sqrt{1+\frac{25-x^2}{x^2}}\,dx=\int_3^5\frac5x\,dx=5\ln\frac53$