자연계열 3번

[3.1] 직육면체 ABCD−EFGH에서 꼭짓점 H를 원점 O, 세 모서리 HE, HG, HD가 각각 $\displaystyle x,y,z$축의 양의 방향과 일치하도록 좌표공간에 놓으면 아래의 그림과 같다.

$\displaystyle \angle\mathrm{DMF}=\theta$라 하면 $\displaystyle \mathrm D(0,0,2)$, $\displaystyle \mathrm M(1,0,1)$, $\displaystyle \mathrm F(1,1,0)$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MD}}=(-1,0,1)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MF}}=(0,1,-1)$이고$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{MD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MF}}}{|\overrightarrow{\mathrm{MD}}||\overrightarrow{\mathrm{MF}}|}=\frac{0+0-1}{\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}=-\frac12<0$이다. 따라서 $\displaystyle \theta$가 $\displaystyle 90^\circ$보다 크다.

[3.2] 세 점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P(0,t,2)$, $\displaystyle \mathrm Q(s,1,0)$, $\displaystyle \mathrm M(1,0,1)$ ($\displaystyle 0\leq t,s\leq1$)이다. 삼각형 PMQ는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{MP}}^{\,2}=\overline{\mathrm{MQ}}^{\,2}$이다. 두 변의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{MP}}=\sqrt{1^2+t^2+1^2},\quad\overline{\mathrm{MQ}}=\sqrt{(s-1)^2+1^2+1^2}$이므로$\displaystyle t^2=(s-1)^2\quad(\text{수식1})$이고 선분 MP와 MQ가 수직이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=0$이다.그런데 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MP}}=(-1,t,1)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=(s-1,1,-1)$이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=-(s-1)+t-1=0$이고 따라서$\displaystyle t=s\quad(\text{수식2})$이다. (수식 1)과 (수식 2)를 연립하면 $\displaystyle t=\frac12,s=\frac12$이다. 따라서 삼각형 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\frac12\overline{\mathrm{MP}}^{\,2}=\frac98$이다.

[3.3] 세 점 $\displaystyle \mathrm P\left(0,\frac12,2\right)$, $\displaystyle \mathrm Q\left(\frac12,1,0\right)$, $\displaystyle \mathrm M(1,0,1)$을 지나는 평면의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle 2x+2y+z-3=0$같은 방법으로 점 $\displaystyle \mathrm D(0,0,2)$, $\displaystyle \mathrm M(1,0,1)$, $\displaystyle \mathrm F(1,1,0)$를 지나는 평면방정식은 다음과 같다.$\displaystyle x+y+z-2=0$두 평면의 법선 벡터는 각각 $\displaystyle \overrightarrow{n_1}=(2,2,1)$, $\displaystyle \overrightarrow{n_2}=(1,1,1)$이므로 두 벡터가 이루는 각을 $\displaystyle \gamma$라 할 때 $\displaystyle \cos\gamma$값은 다음과 같다.$\displaystyle \cos\gamma=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac5{3\sqrt3}$따라서 정사영의 넓이는$\displaystyle S=\triangle\mathrm{PMQ}\cos\gamma=\frac{5\sqrt3}8$이다.

[3.4] 삼각형 PMQ의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P(0,t,h)$, $\displaystyle \mathrm M\left(1,0,\frac h2\right)$, $\displaystyle \mathrm Q(s,1,0)$, ($\displaystyle 0\leq t,s\leq1$, $\displaystyle h>0$)이다. 정삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{MP}}^{\,2}=\overline{\mathrm{MQ}}^{\,2}$이다. 이를 정리하면$\displaystyle t^2=(s-1)^2$즉,$\displaystyle t=-s+1\text{ 또는 }t=s-1$이다. 그런데 $\displaystyle 0\leq t,s\leq1$이므로 $\displaystyle t=-s+1$이다. 또 $\displaystyle \overline{\mathrm{MP}}^{\,2}=\overline{\mathrm{PQ}}^{\,2}$으로부터$\displaystyle 1+t^2+\frac{h^2}4=s^2+(t-1)^2+h^2$을 얻는다. $\displaystyle t=-s+1$를 이용하여 정리하면$\displaystyle \frac34h^2=-s^2-2s+2$인데, $\displaystyle 0\leq s\leq1$에서 우변의 최댓값은 $\displaystyle 2$이고, 이때 $\displaystyle h$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{2\sqrt6}3$이다.