자연계열 1-2번

[1.2] $\displaystyle x=1$일 때 최댓값 $\displaystyle 3$을 가지므로 $\displaystyle f(x)=a(x-1)^2+3$이고 $\displaystyle a<0$이다. 주어진 두 곡선 사이의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_2^3\{a^2(x-1)^4+6a(x-1)^2+9\}\ln(x-1)\,dx\\&\quad+\int_2^3\left\{\frac{a^2}5(x-1)^4+2a(x-1)^2+\frac{9x}{x-1}\right\}\,dx\end{aligned}$인데, 첫 번째 정적분을 부분적분하면$\displaystyle \begin{aligned}A&=\Biggl[\left\{\frac{a^2}5(x-1)^5+2a(x-1)^3+9x\right\}\ln(x-1)\Biggr]_2^3\\&=\left(\frac{32}5a^2+16a+27\right)\ln2\\&=\frac{32\ln2}5\left(a+\frac54\right)^2+17\ln2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle a=-\frac54$일 때 최솟값 $\displaystyle 17\ln2$를 갖는다. 이때$\displaystyle f(x)=-\frac54(x-1)^2+3=-\frac54x^2+\frac52x+\frac74$이므로 $\displaystyle a-b+c=-\frac54-\frac52+\frac74=-2$이다.