자연계열 3번

[3.1] 직선 $\displaystyle l_1$의 방향벡터는 $\displaystyle \vec d_1=(1,3,4)$, 직선 $\displaystyle l_2$의 방향벡터는 $\displaystyle \vec d_2=(2,3,2)$이고$\displaystyle \vec d_1\neq k\vec d_2$이므로 두 직선은 평행하지 않다.두 직선이 만나려면 $\displaystyle l_1:x-1=\frac{y-2}3=\frac{z+4}4$와 $\displaystyle l_2:\frac{x-2}2=\frac{y+1}3=\frac z2$를 동시에 만족하는 $\displaystyle x,y,z$가 있어야 한다.$\displaystyle 3x-3=y-2,\quad3x-6=2y+2$를 풀면 $\displaystyle x=-2$, $\displaystyle y=-7$이므로 $\displaystyle l_1$에서는 $\displaystyle z=-16$이고, $\displaystyle l_2$에서는 $\displaystyle z=-4$이다. 따라서 $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$를 동시에 만족하는 $\displaystyle x,y,z$가 없으므로 두 직선은 만나지 않는다.

[3.2] 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터를 $\displaystyle \vec n=(a,b,c)$라고 하면 $\displaystyle \vec n$은 $\displaystyle \vec d_1$, $\displaystyle \vec d_2$와 서로 수직이므로$\displaystyle \vec n\cdot\vec d_1=a+3b+4c=0$$\displaystyle \vec n\cdot\vec d_2=2a+3b+2c=0$이다. $\displaystyle b$를 소거하면 $\displaystyle -a+2c=0$이므로 $\displaystyle \vec n=(2,-2,1)$이다. 따라서 $\displaystyle l_2$ 위의 점, 예를 들면, 점 $\displaystyle (2,-1,0)$을 지나고 $\displaystyle \vec n$에 수직인 평면을 구하면 되므로$\displaystyle 2(x-2)-2(y+1)+z=0$,즉, $\displaystyle 2x-2y+z-6=0$이다.

[3.3] 직선 $\displaystyle l_1$ 위의 점 $\displaystyle (1,2,-4)$와 평면 $\displaystyle \alpha$ 사이의 거리를 구하면$\displaystyle d=\frac{|2-4-4-6|}{\sqrt{4+4+1}}=4$이다.