자연계열 2번

[2.1] 첫째 날 학생 수는 2명이므로 $\displaystyle a_1=3$이고, 둘째 날 학생 수는 3명이므로 3팀이고 9문제를 풀었다. 따라서 $\displaystyle a_2=a_1+9=12$이다.

[2.2] $\displaystyle n$번째 날 학생 수는 $\displaystyle n+1$명이므로 두 명씩 팀은 $\displaystyle {}_{n+1}\mathrm C_2=\frac{n(n+1)}2$개가 있고$\displaystyle n\text{번째 날에 푼 문제 수}=\frac32n(n+1)$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=3+\frac32\cdot2\cdot3+\cdots+\frac32n(n+1)\\&=\frac32\sum_{k=1}^nk(k+1)\\&=\frac32\left\{\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2\right\}\\&=\frac{n(n+1)(n+2)}2\end{aligned}$이다.

[2.3] 임의의 $\displaystyle n$에 관하여$\displaystyle \frac1{a_n}=\frac2{n(n+1)(n+2)}=\frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}$라 하면 $\displaystyle A=1$, $\displaystyle B=-2$, $\displaystyle C=1$이므로, 부분합을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}=\sum_{k=1}^n\frac2{k(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac2{k+1}+\frac1{k+2}\right)\\&=\left(1-\frac22+\frac13\right)+\left(\frac12-\frac23+\frac14\right)+\cdots+\left(\frac1{n-1}-\frac2n+\frac1{n+1}\right)+\left(\frac1n-\frac2{n+1}+\frac1{n+2}\right)\\&=\frac12-\frac1{n+1}+\frac1{n+2}\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac12-\frac1{n+1}+\frac1{n+2}\right)=\frac12$이다.

[2.4] 수학적 귀납법으로 증명해보자. $\displaystyle 4a_1=4\cdot\frac{1\cdot2\cdot3}2=a_2$이므로 $\displaystyle n=1$일 때 성립한다.$\displaystyle n=k$일 때 성립한다고 하면$\displaystyle a_{k+1}=\frac5{k(k+4)}\{4a_1+5a_2+\cdots+(k+3)a_k\}$이다. 이때$\displaystyle \begin{aligned}4a_1+5a_2+\cdots+(k+4)a_{k+1}&=\{4a_1+5a_2+\cdots+(k+3)a_k\}+(k+4)a_{k+1}\\&=\frac{k(k+4)}5a_{k+1}+(k+4)a_{k+1}\\&=\frac{(k+4)(k+5)}5a_{k+1}\\&=\frac{(k+4)(k+5)}5\cdot\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}2\\&=\frac{(k+1)(k+5)}5a_{k+2}\end{aligned}$이므로$\displaystyle a_{k+2}=\frac5{(k+1)(k+5)}\{4a_1+5a_2+\cdots+(k+4)a_{k+1}\}$이다. 즉, $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.