수리논술, 이게 다다.

자연계열 1-1번

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서울과학기술대 2021학년도 모의논술 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021mo/jayeon_1_1

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[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.1] 아래 그림과 같이 0≤x≤π\displaystyle 0\leq x\leq\pi에 대하여 y=cos⁡x\displaystyle y=\cos x, y=cos⁡2x\displaystyle y=\cos2x, y=cos⁡2x\displaystyle y=\cos^2x의 그래프를 한 좌표평면에 그릴 때, 세 곡선 모두에 의해 둘러싸인 도형은 두 개이다. 도형 A의 넓이를 a\displaystyle a, 도형 B의 넓이를 b\displaystyle b라 할 때 a−b\displaystyle a-b의 값을 구하시오.

세 코사인 곡선으로 둘러싸인 영역 A와 B
해설강의 준비중

서울과학기술대 2021학년도 모의논술 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021mo/jayeon_1_1

[1.1] 세 곡선의 교점은 다음 세 삼각방정식을 풀어 구할 수 있다.cos⁡x=cos⁡2x⇔x=0,π2\displaystyle \cos x=\cos^2x\Leftrightarrow x=0,\frac\pi2cos⁡x=cos⁡2x⇔x=0,2π3\displaystyle \cos x=\cos2x\Leftrightarrow x=0,\frac{2\pi}3cos⁡2x=cos⁡2x⇔x=0,π\displaystyle \cos2x=\cos^2x\Leftrightarrow x=0,\pi따라서 교점은 x=0,π2,2π3,π\displaystyle x=0,\frac\pi2,\frac{2\pi}3,\pi일 때 생긴다. 도형 A, B의 넓이는 각각a=∫0π/2(cos⁡2x−cos⁡2x) dx+∫π/22π/3(cos⁡x−cos⁡2x) dx=π4+334−1\displaystyle a=\int_0^{\pi/2}(\cos^2x-\cos2x)\,dx+\int_{\pi/2}^{2\pi/3}(\cos x-\cos2x)\,dx=\frac\pi4+\frac{3\sqrt3}4-1b=∫π/22π/3(cos⁡2x−cos⁡x) dx+∫2π/3π(cos⁡2x−cos⁡2x) dx=π4−334+1\displaystyle b=\int_{\pi/2}^{2\pi/3}(\cos^2x-\cos x)\,dx+\int_{2\pi/3}^\pi(\cos^2x-\cos2x)\,dx=\frac\pi4-\frac{3\sqrt3}4+1이므로 a−b=33−42\displaystyle a-b=\frac{3\sqrt3-4}2이다.

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