수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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서울과학기술대 2021학년도 모의논술 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021mo/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 원점에서 출발하여 다음의 규칙에 따라 좌표평면 위를 움직이는 점이 있다.(1) 첫 단계에서 출발점을 P0(0,0)\displaystyle \mathrm{P}_0(0,0)이라 하고, 도착점을 P1\displaystyle \mathrm{P}_1이라 할 때, n\displaystyle n번째 단계에서 Pn−1\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}에서 출발하여 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n까지 움직인다.(2) n\displaystyle n이 짝수일 때 Pn−1Pn‾=34Pn−2Pn−1‾\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}=\frac34\overline{\mathrm{P}_{n-2}\mathrm{P}_{n-1}}, n\displaystyle n이 홀수일 때 Pn−1Pn‾=23Pn−2Pn−1‾\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}=\frac23\overline{\mathrm{P}_{n-2}\mathrm{P}_{n-1}}이다.(3) P0\displaystyle \mathrm{P}_0에서 P1\displaystyle \mathrm{P}_1까지 x\displaystyle x축의 양의 방향으로 1\displaystyle 1만큼 이동하고, P1\displaystyle \mathrm{P}_1에서 P2\displaystyle \mathrm{P}_2까지 y\displaystyle y축과 평행한 양의 방향으로 이동한다. P2\displaystyle \mathrm{P}_2에서 P3\displaystyle \mathrm{P}_3까지 x\displaystyle x축과 평행한 음의 방향으로 이동한다. P3\displaystyle \mathrm{P}_3에서 P4\displaystyle \mathrm{P}_4까지 y\displaystyle y축과 평행한 음의 방향으로 이동한다.(4) (3)과 같이 x\displaystyle x축과 평행한 양의 방향, y\displaystyle y축과 평행한 양의 방향, x\displaystyle x축과 평행한 음의 방향, y\displaystyle y축과 평행한 음의 방향을 반복하여 움직인다.

(나) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}이 수렴할 때, lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞a2n=lim⁡n→∞a2n−1\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{2n}=\lim_{n\to\infty}a_{2n-1}이다.

[3.1] 자연수 n\displaystyle n에 대하여, P2n(x2n,y2n)\displaystyle \mathrm{P}_{2n}(x_{2n},y_{2n})과 P2n−1(x2n−1,y2n−1)\displaystyle \mathrm{P}_{2n-1}(x_{2n-1},y_{2n-1})을 구하시오.

[3.2] 다항함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프가 점 P0,P2,P4,…,P2n,…\displaystyle \mathrm{P}_0,\mathrm{P}_2,\mathrm{P}_4,\ldots,\mathrm{P}_{2n},\ldots을 지날 때, f(x)\displaystyle f(x)를 구하시오.

[3.3] 다항함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프가 점 P1,P3,P5,…,P2n−1,…\displaystyle \mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3,\mathrm{P}_5,\ldots,\mathrm{P}_{2n-1},\ldots을 지날 때, g(x)\displaystyle g(x)를 구하시오.

[3.4] [3.2]와 [3.3]에서 구한 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 교점 Q를 구하고, 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n이 점 Q로 한없이 가까워짐을 설명하시오.

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서울과학기술대 2021학년도 모의논술 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021mo/jayeon_3

[3.1] 처음 다섯 개 점의 좌표를 살펴보면P0(0,0),P1(1,0),P2(1,34),P3(1−12,34),P4(1−12,34−38)\displaystyle \mathrm{P}_0(0,0),\mathrm{P}_1(1,0),\mathrm{P}_2\left(1,\frac34\right),\mathrm{P}_3\left(1-\frac12,\frac34\right),\mathrm{P}_4\left(1-\frac12,\frac34-\frac38\right)이므로x2n−1=x2n,y2n=y2n+1,\displaystyle x_{2n-1}=x_{2n},\quad y_{2n}=y_{2n+1},x2n=1−12+14−⋯+(−1)n−12n−1=1−(−1/2)n1−(−1/2)=23(1−(−1)n2n)\displaystyle x_{2n}=1-\frac12+\frac14-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{1-(-1/2)^n}{1-(-1/2)}=\frac23\left(1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right)y2n=34−38+316−⋯+(−1)n+132n+1=34(1−12+14−⋯+(−1)n−12n−1)=12(1−(−1)n2n)\displaystyle y_{2n}=\frac34-\frac38+\frac3{16}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac3{2^{n+1}}=\frac34\left(1-\frac12+\frac14-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right)=\frac12\left(1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right)이다. 따라서P2n(23[1−(−1)n2n],12[1−(−1)n2n])\displaystyle \mathrm{P}_{2n}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right]\right), P2n−1(23[1−(−1)n2n],12[1−(−1)n−12n−1])\displaystyle \mathrm{P}_{2n-1}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right]\right)이다.

[3.2] [3.1]로부터 짝수 번째 점은 P2n(23[1−(−1)n2n],12[1−(−1)n2n])\displaystyle \mathrm{P}_{2n}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right]\right)이므로 t=1−(−1)n2n\displaystyle t=1-\frac{(-1)^n}{2^n}으로 두면 x=23t\displaystyle x=\frac23t, y=12t\displaystyle y=\frac12t인 매개변수방정식으로 표현된다. 따라서 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 점 P2n\displaystyle \mathrm{P}_{2n}은 직선 y=34x\displaystyle y=\frac34x 위에 있다. 즉, f(x)=34x\displaystyle f(x)=\frac34x이다.

[3.3] [3.1]로부터 홀수 번째 점은 P2n−1(23[1−(−1)n2n],12[1−(−1)n−12n−1])\displaystyle \mathrm{P}_{2n-1}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right]\right)이므로 s=(−1)n2n\displaystyle s=\frac{(-1)^n}{2^n}으로 두면 x=23(1−s)\displaystyle x=\frac23(1-s), y=12(1+2s)\displaystyle y=\frac12(1+2s)로 표현된다. 따라서 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 점 P2n−1\displaystyle \mathrm{P}_{2n-1}은 직선 y=−32x+32\displaystyle y=-\frac32x+\frac32 위에 있다. 즉, g(x)=−32x+32\displaystyle g(x)=-\frac32x+\frac32이다.

[3.4] [3.2]와 [3.3]에서 구한 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 교점 Q의 좌표는 (23,12)\displaystyle \left(\frac23,\frac12\right)이다. 제시문 (나)에 의해 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 (a,b)\displaystyle (a,b)라 할 때,a=lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞x2n,b=lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞y2n\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{2n},\quad b=\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}y_{2n}이므로 (a,b)\displaystyle (a,b)는 직선 y=34x\displaystyle y=\frac34x 위에 있다. 또a=lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞x2n−1,b=lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞y2n−1\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{2n-1},\quad b=\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}y_{2n-1}이므로 (a,b)\displaystyle (a,b)는 직선 y=−32x+32\displaystyle y=-\frac32x+\frac32 위에 있다. 따라서 (a,b)\displaystyle (a,b)는 두 직선의 교점 중 하나이고, 두 직선의 교점이 유일하므로 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n이 한없이 가까워지는 점은 Q가 된다.

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