자연계열 3번

[3.1] 처음 다섯 개 점의 좌표를 살펴보면$\displaystyle \mathrm{P}_0(0,0),\mathrm{P}_1(1,0),\mathrm{P}_2\left(1,\frac34\right),\mathrm{P}_3\left(1-\frac12,\frac34\right),\mathrm{P}_4\left(1-\frac12,\frac34-\frac38\right)$이므로$\displaystyle x_{2n-1}=x_{2n},\quad y_{2n}=y_{2n+1},$$\displaystyle x_{2n}=1-\frac12+\frac14-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}=\frac{1-(-1/2)^n}{1-(-1/2)}=\frac23\left(1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right)$$\displaystyle y_{2n}=\frac34-\frac38+\frac3{16}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac3{2^{n+1}}=\frac34\left(1-\frac12+\frac14-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right)=\frac12\left(1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right)$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm{P}_{2n}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right]\right)$, $\displaystyle \mathrm{P}_{2n-1}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right]\right)$이다.

[3.2] [3.1]로부터 짝수 번째 점은 $\displaystyle \mathrm{P}_{2n}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right]\right)$이므로 $\displaystyle t=1-\frac{(-1)^n}{2^n}$으로 두면 $\displaystyle x=\frac23t$, $\displaystyle y=\frac12t$인 매개변수방정식으로 표현된다. 따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2n}$은 직선 $\displaystyle y=\frac34x$ 위에 있다. 즉, $\displaystyle f(x)=\frac34x$이다.

[3.3] [3.1]로부터 홀수 번째 점은 $\displaystyle \mathrm{P}_{2n-1}\left(\frac23\left[1-\frac{(-1)^n}{2^n}\right],\frac12\left[1-\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right]\right)$이므로 $\displaystyle s=\frac{(-1)^n}{2^n}$으로 두면 $\displaystyle x=\frac23(1-s)$, $\displaystyle y=\frac12(1+2s)$로 표현된다. 따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2n-1}$은 직선 $\displaystyle y=-\frac32x+\frac32$ 위에 있다. 즉, $\displaystyle g(x)=-\frac32x+\frac32$이다.

[3.4] [3.2]와 [3.3]에서 구한 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 교점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac23,\frac12\right)$이다. 제시문 (나)에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 $\displaystyle (a,b)$라 할 때,$\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{2n},\quad b=\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}y_{2n}$이므로 $\displaystyle (a,b)$는 직선 $\displaystyle y=\frac34x$ 위에 있다. 또$\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{2n-1},\quad b=\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}y_{2n-1}$이므로 $\displaystyle (a,b)$는 직선 $\displaystyle y=-\frac32x+\frac32$ 위에 있다. 따라서 $\displaystyle (a,b)$는 두 직선의 교점 중 하나이고, 두 직선의 교점이 유일하므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$이 한없이 가까워지는 점은 Q가 된다.