자연계열 1-2번

[1.2] 로그의 성질을 이용하여 간단히 하면$\displaystyle \begin{aligned}\ln\{(2n)!\}-n\ln n-\ln(n!)&=\ln2n+\ln(2n-1)+\ln(2n-2)+\cdots+\ln(n+1)-n\ln n\\&=(\ln2n-\ln n)+\{\ln(2n-1)-\ln n\}+\cdots+\{\ln(n+1)-\ln n\}\\&=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln\{(2n)!\}-n\ln n-\ln(n!)}n=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)=\int_1^2\ln x\,dx$이고, 부분적분하면$\displaystyle \int_1^2\ln x\,dx=\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^2=2\ln2-1$이다.