자연계열 2번

[2.1] 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$의 방정식은 $\displaystyle (x-4)^2+(y-3)^2=4^2$이므로 중심이 $\displaystyle (4,3)$이고 반지름이 $\displaystyle 4$인 원이다. 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$은 중심이 원점 O이고 반지름이 $\displaystyle 3$인 원이다. 따라서 제시문으로부터 아래와 같이 두 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$, $\displaystyle \mathrm{C}_2$와 점 O, P, A, Q를 나타낼 수 있다.

원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$의 반지름이 $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=3$이고, 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$의 반지름이 $\displaystyle 4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=4$이다. 두 점 사이의 거리로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{3^2+4^2}=5$이다. 따라서 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAP}$는 직각삼각형이다. 원주각과 중심각 사이의 관계로부터 $\displaystyle \angle\mathrm{APO}=2\angle\mathrm{AQO}=2\alpha$이다. 따라서$\displaystyle \cos2\alpha=\frac45$이다. 삼각함수의 덧셈공식으로부터$\displaystyle \cos(\alpha+\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$이므로$\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$이다. ($\displaystyle \alpha<\pi$이기 때문에 $\displaystyle \sin\alpha$는 양수이다.)

[2.2] 삼각함수 덧셈공식으로부터 구하는 값은$\displaystyle \cos\beta=\cos\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-\sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$이다.

[2.3] 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$ 위의 한 점 $\displaystyle (a,b)$에서 접선의 방정식은$\displaystyle ax+by=9$이다. 이 접선이 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$와 한 점에서 만나므로, 이 직선과 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$의 중심 P 사이의 거리는 $\displaystyle 4$이다.$\displaystyle \frac{|4a+3b-9|}{\sqrt{a^2+b^2}}=4$점 $\displaystyle (a,b)$가 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$ 위에 있으므로 $\displaystyle a^2+b^2=9$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{R}_1$과 $\displaystyle \mathrm{R}_2$의 좌표를 찾기 위해서는 연립방정식$\displaystyle |4a+3b-9|=12,\quad a^2+b^2=9$를 만족하는 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$를 찾으면 된다. 먼저 $\displaystyle 4a+3b-9=12$인 경우를 살펴보면 $\displaystyle b=7-\frac43a$이고 이를 $\displaystyle a^2+b^2=9$에 대입하면$\displaystyle \frac{25}9a^2-\frac{56}3a+40=0$이므로 실근이 없다. 이제 $\displaystyle 4a+3b-9=-12$인 경우를 살펴보면, $\displaystyle b=-1-\frac43a$이다. 이를 다시 $\displaystyle a^2+b^2=9$에 대입하면$\displaystyle \frac{25}9a^2+\frac83a-8=0$을 얻는다. 이 방정식은 실근을 두 개 가지고, 근과 계수와의 관계로부터 점 $\displaystyle \mathrm{R}_1$과 점 $\displaystyle \mathrm{R}_2$의 $\displaystyle x$좌표의 합은 $\displaystyle -\frac{24}{25}$이다.