자연계열 1-1번

[1.1] 원뿔의 높이를 $\displaystyle x$ ($\displaystyle 0<x<6$)라 하자. [그림 1]과 같이 $\displaystyle 0<x\leq3$이거나 [그림 2]와 같이 $\displaystyle 3\leq x<6$일 때 모두 반지름은 $\displaystyle \sqrt{6x-x^2}$이고, 모선의 길이는 $\displaystyle \sqrt{6x}$이다.

원뿔을 펼친 모양은 [그림 3]과 같으므로 겉넓이는 $\displaystyle S=\sqrt{6x(6x-x^2)}\pi$이다. 겉넓이의 제곱 $\displaystyle S^2$을 $\displaystyle f(x)$라 하면$\displaystyle f(x)=6\pi^2(6x^2-x^3)$이다. $\displaystyle f(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=6\pi^2(12x-3x^2)=18\pi^2x(4-x)$이므로 $\displaystyle x=4$일 때 $\displaystyle f(x)$는 최대가 되고 최댓값은 $\displaystyle f(4)=192\pi^2$이다.