자연계열 3번

[3.1] 직선 $\displaystyle l_1$이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_1$, 직선 $\displaystyle l_2$가 $\displaystyle x$의 양의 축이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_2$라 하면 $\displaystyle \theta=\theta_1-\theta_2$이다. $\displaystyle \mathrm{P}_1$, $\displaystyle \mathrm{P}_2$의 좌표를 구하기 위해 방정식 $\displaystyle t-x^2=tx$을 풀어 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 하면$\displaystyle \alpha=-\frac t2+\frac{\sqrt{t^2+4t}}2,\quad\beta=-\frac t2-\frac{\sqrt{t^2+4t}}2$이다. $\displaystyle \mathrm{P}_1(\alpha,t\alpha)$과 $\displaystyle \mathrm{P}_2(\beta,t\beta)$에서의 $\displaystyle y=t-x^2$의 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle -2\alpha$, $\displaystyle -2\beta$이다. 따라서 $\displaystyle \tan\theta_1=-2\alpha$, $\displaystyle \tan\theta_2=-2\beta$이다.$\displaystyle \tan^2\theta=\tan^2(\theta_1-\theta_2)=\left(\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\right)^2=\left(\frac{-2\alpha+2\beta}{1+4\alpha\beta}\right)^2=\frac{4(\alpha-\beta)^2}{(1+4\alpha\beta)^2}=\frac{4\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\}}{(1+4\alpha\beta)^2}$이므로 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha+\beta=-t$, $\displaystyle \alpha\beta=-t$이므로 위 식은 다음과 같이 정리된다.$\displaystyle \tan^2\theta=\frac{4(t^2+4t)}{(1-4t)^2}=\frac{4t^2+16t}{16t^2-8t+1}$

[3.2] 직선 $\displaystyle l_1$의 방정식은 $\displaystyle y=(t-\sqrt{t^2+4t})x-\frac{(t-\sqrt{t^2+4t})\sqrt{t^2+4t}}2$이므로 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+4t}}2$, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \frac{(\sqrt{t^2+4t}-t)\sqrt{t^2+4t}}2$이다. 따라서$\displaystyle A_1(t)=\frac12\times\frac{\sqrt{t^2+4t}}2\times\frac{(\sqrt{t^2+4t}-t)\sqrt{t^2+4t}}2=\frac{(t^2+4t)(\sqrt{t^2+4t}-t)}8$이다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}\frac{A_1(t)}{t^k}&=\lim_{t\to\infty}\left\{\frac{(t^2+4t)(\sqrt{t^2+4t}-t)}{8t^k}\times\frac{\sqrt{t^2+4t}+t}{\sqrt{t^2+4t}+t}\right\}\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{(t^2+4t)}{8t^k}\frac{4t}{\sqrt{t^2+4t}+t}\\&=\frac14\lim_{t\to\infty}\frac{(t^2+4t)}{t^k}\end{aligned}$위 극한은 $\displaystyle k<2$이면 발산하고 $\displaystyle k>2$이면 극한값이 $\displaystyle 0$이다. $\displaystyle k=2$일 때 극한값은 $\displaystyle \frac14$이다. 따라서 극한값은 $\displaystyle 0,\frac14$이다.

[3.3] 직선 $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle y=(t+\sqrt{t^2+4t})x+\frac{(t+\sqrt{t^2+4t})\sqrt{t^2+4t}}2$이므로 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle -\frac{\sqrt{t^2+4t}}2$, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \frac{(t+\sqrt{t^2+4t})\sqrt{t^2+4t}}2$이다. 즉, 삼각형의 넓이 $\displaystyle A_2(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle A_2(t)=\frac{(t^2+4t)(t+\sqrt{t^2+4t})}8$곡선과 직선 사이의 넓이 $\displaystyle S(t)$는 적분을 이용하여 구할 수 있다.$\displaystyle S(t)=\int_\beta^\alpha(t-x^2-tx)\,dx=\Biggl[tx-\frac13x^3-\frac12tx^2\Biggr]_\beta^\alpha=\frac{(t^2+4t)\sqrt{t^2+4t}}6$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{S(t)}{A_2(t)}=\lim_{t\to\infty}\frac{(t^2+4t)\sqrt{t^2+4t}}6\frac8{(t^2+4t)(t+\sqrt{t^2+4t})}=\frac23$이다.