자연계열 1-2번

[1.2] 점 P의 좌표를 구하기 위해 $\displaystyle x^2-x+y^2=0$과 $\displaystyle x^2+y^2=\cos^2\alpha$를 풀면 $\displaystyle x=\cos^2\alpha$, $\displaystyle y^2=\cos^2\alpha\sin^2\alpha$이다. 즉 점 P의 좌표는 $\displaystyle (\cos^2\alpha,|\sin\alpha\cos\alpha|)$이다. 비슷하게 점 Q의 좌표를 구하기 위해 $\displaystyle x^2-x+y^2=0$과 $\displaystyle x^2+y^2=\sin^2\alpha$를 풀면 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (\sin^2\alpha,|\sin\alpha\cos\alpha|)$이다. 삼각형 OPQ의 밑변을 선분 PQ로 두면 선분 PQ와 $\displaystyle x$축이 평행하므로 점 P와 점 Q의 $\displaystyle y$좌표가 삼각형 OPQ의 높이가 된다. 따라서 삼각형 OPQ의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \triangle\mathrm{OPQ}=\frac12|(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)\times\cos\alpha\sin\alpha|$

삼각함수의 덧셈정리$\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\quad\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$에서 $\displaystyle x=y=\alpha$로 두면,$\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$를 얻는다. 이를 이용하면,$\displaystyle \triangle\mathrm{OPQ}=\frac12\left|\cos2\alpha\times\frac12\sin2\alpha\right|=\frac18|\sin4\alpha|$이다. $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2$에서 $\displaystyle |\sin4\alpha|$의 최댓값은 $\displaystyle 1$이고 $\displaystyle 4\alpha=\frac\pi2$ 또는 $\displaystyle 4\alpha=\frac{3\pi}2$일 때 최댓값을 얻을 수 있다. 따라서 삼각형의 넓이가 최대가 될 때의 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle \frac\pi8$, $\displaystyle \frac{3\pi}8$이다.