자연계열 2번

[2.1] 비밀번호의 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수를 각각 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$라고 하면$\displaystyle x+y+z=9$ ($\displaystyle 0\leq x\leq9$, $\displaystyle 0\leq y\leq9$, $\displaystyle 0\leq z\leq9$)를 만족해야 한다. 이를 만족하는 정수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ 순서쌍의 개수는 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$를 중복을 허용하여 $\displaystyle 9$개 선택하는 방법의 수와 같다. 따라서 가능한 비밀번호는$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{9}={}_{11}\mathrm{C}_{9}=55$가지이다.

[2.2] 확률변수 $\displaystyle X$는 비밀번호를 맞힐 때까지 네 자리 번호를 입력한 횟수이다. $\displaystyle A_i$를 $\displaystyle i$번째에 비밀번호를 맞히는 사건, $\displaystyle i\geq2$일 때 $\displaystyle B_i$를 $\displaystyle i-1$번째까지 비밀번호를 맞히지 못할 사건이라고 하자. 그러면 $\displaystyle P(A_1)=\frac1{55}$이고 $\displaystyle 2\leq i\leq55$일 때, $\displaystyle i-1$번째까지 비밀번호를 맞히지 못하고 $\displaystyle i$번째에 비밀번호를 맞히는 사건의 확률은$\displaystyle \begin{aligned}P(A_i\cap B_i)&=P(B_i)\times P(A_i\mid B_i)\\&=\left\{\left(1-\frac1{55}\right)\left(1-\frac1{54}\right)\cdots\left(1-\frac1{55-(i-2)}\right)\right\}\times\left(\frac1{55-(i-1)}\right)=\frac1{55}\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle 1\leq i\leq55$일 때 $\displaystyle P(X=i)=\frac1{55}$이다. 그러므로 기댓값 $\displaystyle E(X)$는$\displaystyle \sum_{i=1}^{55}(i\times P(X=i))=\sum_{i=1}^{55}\frac i{55}=\frac1{55}\times\frac{55(55+1)}2=28$이다.

[2.3] 확률변수 $\displaystyle Y$는 비밀번호를 맞힐 때까지 걸리는 시간이다. 네 자리 번호를 한 번 입력하는 데 $\displaystyle 5$초가 걸리고, $\displaystyle 5$번 틀린 후에는 $\displaystyle 20$초 동안 입력할 수 없다. 따라서 $\displaystyle i-1$번째까지 비밀번호를 맞히지 못하고 $\displaystyle i$번째 비밀번호를 입력할 경우, $\displaystyle i$번째 비밀번호를 입력할 때까지 걸리는 시간은$\displaystyle \begin{aligned}5i,&\quad1\leq i\leq5\\5i+20,&\quad6\leq i\leq10\\&\vdots\\5i+200,&\quad51\leq i\leq55\end{aligned}$이고$\displaystyle \begin{aligned}P(Y=5i)&=P(X=i)=\frac1{55},\quad1\leq i\leq5\\P(Y=5i+20)&=P(X=i)=\frac1{55},\quad6\leq i\leq10\\&\vdots\\P(Y=5i+200)&=P(X=i)=\frac1{55},\quad51\leq i\leq55\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle E(Y)$는$\displaystyle \sum_{i=1}^{55}\left(\frac1{55}\times5i\right)+\frac1{55}(0\times5+20\times5+\cdots+200\times5)=240$이다.