자연계열 1-1번

[1.1] 삼각함수의 덧셈공식 $\displaystyle \sin(x+\alpha)=\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha$로부터 다음을 만족하는 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle A$를 구한다.$\displaystyle \sin x+A\cos x=2\sin x\cos\alpha+2\cos x\sin\alpha$$\displaystyle x=\frac\pi2$를 대입하면 $\displaystyle 1=2\cos\alpha$이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac12$이다. $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle A=2\sin\alpha$이므로 $\displaystyle \sin\alpha=\frac A2$이다. $\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\displaystyle \frac14+\frac{A^2}4=1$이므로 $\displaystyle A=\sqrt3$이다 ($\displaystyle A>0$).

따라서 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt3}2$, $\displaystyle \cos\alpha=\frac12$이다. 즉, $\displaystyle \alpha=\frac\pi3$, $\displaystyle A=\sqrt3$이다.